Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тригонометрическая функция, определяемая как секанс минус один.
Trigonometric function defined as secant minus one
Внешняя секантная функция (exsecant, обозначается как exsec) — это тригонометрическая функция, определяемая через секансную функцию:
The external secant function (exsecant, symbolized exsec) is a trigonometric function defined in terms of the secant function:
Она была введена в 1855 году американским инженером-строителем Чарльзом Хаслетом, который использовал её в сочетании с существующей функцией версина для проектирования и измерения круговых участков железнодорожных путей. Она была принята геодезистами и инженерами-строителями в Соединенных Штатах для проектирования железных дорог и дорог, и с начала XX века иногда кратко упоминается в американских учебниках по тригонометрии и общих инженерных справочниках. Для полноты некоторые книги также определяли коэксекантную или эксосекантную функцию (обозначаемую как coexsec или excsc) — эксеканс дополнительного угла, хотя на практике она не использовалась. Хотя эксеканс иногда находил и другие применения, сегодня он малоизвестен и представляет в основном исторический интерес. Как линейный отрезок, внешняя секанта к окружности имеет одну конечную точку на окружности и затем простирается радиально наружу. Длина этого отрезка равна радиусу окружности, умноженному на тригонометрический эксеканс центрального угла между внутренней конечной точкой отрезка и точкой касания прямой, проходящей через внешнюю конечную точку и касательной к окружности.
It was introduced in 1855 by American civil engineer Charles Haslett, who used it in conjunction with the existing versine function, for designing and measuring circular sections of railroad track. It was adopted by surveyors and civil engineers in the United States for railroad and road design, and since the early 20th century has sometimes been briefly mentioned in American trigonometry textbooks and general purpose engineering manuals. For completeness, a few books also defined a coexsecant or excosecant function (symbolized coexsec or excsc), the exsecant of the complementary angle, though it was not used in practice. While the exsecant has occasionally found other applications, today it is obscure and mainly of historical interest. As a line segment, an external secant of a circle has one endpoint on the circumference, and then extends radially outward. The length of this segment is the radius of the circle times the trigonometric exsecant of the central angle between the segment's inner endpoint and the point of tangency for a line through the outer endpoint and tangent to the circle.
Этимология
Слово «секанс» происходит от латинского слова, означающего «резать», и общая секансная линия «сечет» окружность, пересекая её в двух точках; эта концепция восходит к античности и встречается в Книге III «Начал» Евклида, например, при формулировке теоремы о пересекающихся секущих. В источниках XVIII века на латыни любой отрезок прямой, не являющийся касательной к окружности и имеющий одну конечную точку на окружности, назывался внешним секансом. Тригонометрический секанс, получивший название благодаря Томасу Финке (1583), более точно основан на отрезке прямой с одной конечной точкой в центре окружности и другой конечной точкой вне окружности; окружность делит этот отрезок на радиус и внешний секансный отрезок. Внешний секансный отрезок использовался Галилео Галилеем (1632) под названием секанс.
The word secant comes from Latin for "to cut", and a general secant line "cuts" a circle, intersecting it twice; this concept dates to antiquity and can be found in Book 3 of Euclid's Elements, as used e. g. in the intersecting secants theorem. 18th century sources in Latin called any non tangential line segment external to a circle with one endpoint on the circumference a secans exterior. The trigonometric secant, named by Thomas Fincke (1583), is more specifically based on a line segment with one endpoint at the center of a circle and the other endpoint outside the circle; the circle divides this segment into a radius and an external secant. The external secant segment was used by Galileo Galilei (1632) under the name secant.
История и применение
В XIX веке большинство железнодорожных путей строились из дуг окружностей, называемых простыми кривыми. Геодезисты и инженеры-строители, работавшие на железной дороге, нуждались в выполнении множества повторяющихся тригонометрических вычислений для измерения и планирования круговых участков пути. В геодезии и, в более общем смысле, в практической геометрии использовались таблицы как «естественных» тригонометрических функций, так и их общих логарифмов, в зависимости от конкретной задачи. Использование логарифмов заменяет дорогостоящее умножение многозначных чисел более дешевым сложением, а логарифмические версии тригонометрических таблиц дополнительно экономили трудозатраты, уменьшая количество необходимых обращений к таблицам. Внешняя секущая или внешнее расстояние изогнутого участка пути – это кратчайшее расстояние между путевым полотном и точкой пересечения касательных, проведенных из концов дуги, которое равно радиусу, умноженному на тригонометрическую экссекансу половины центрального угла, опирающегося на дугу. Для сравнения, версинус изогнутого участка пути – это наибольшее расстояние от хорды (отрезка прямой, соединяющего конечные точки) до путевого полотна – см. Сагитта, которое равно радиусу, умноженному на тригонометрический версин половины центрального угла. Эти величины естественно измерять или вычислять при геодезической съемке круговых дуг, которые впоследствии необходимо умножать или делить на другие значения. Чарльз Хаслетт (1855) обнаружил, что непосредственный поиск логарифма экссекансы и версинуса позволял значительно сэкономить усилия и получить более точные результаты по сравнению с вычислением той же величины по значениям из ранее доступных тригонометрических таблиц. Ту же идею подхватили и другие авторы, такие как Сирлс (1880). К 1913 году подход Хаслетта получил настолько широкое распространение в американской железнодорожной отрасли, что в этом контексте «таблицы внешних секущих и версинусов были более распространены, чем таблицы секущих». В конце XIX и XX веков железные дороги стали использовать дуги спирали Эйлера в качестве переходной кривой между прямыми или круговыми участками пути с разной кривизной. Эти спиральные кривые можно приблизительно вычислять с помощью экссекансов и версинусов. Решение аналогичных задач требуется при геодезической съемке круговых участков каналов и дорог, и экссеканс все еще использовался в книгах по дорожной геодезии середины XX века. Экссеканс иногда применялся и в других областях, таких как теория балок и промер глубин проволочным методом. В последние годы, с появлением калькуляторов и компьютеров, необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта, отпала. Экссеканс обычно не встраивается напрямую в калькуляторы или вычислительные среды (хотя иногда он включается в программные библиотеки), и вычисления в целом стали намного дешевле, чем раньше, больше не требуя трудоемкой ручной работы.
In the 19th century, most railroad tracks were constructed out of arcs of circles, called simple curves. Surveyors and civil engineers working for the railroad needed to make many repetitive trigonometrical calculations to measure and plan circular sections of track. In surveying, and more generally in practical geometry, tables of both "natural" trigonometric functions and their common logarithms were used, depending on the specific calculation. Using logarithms converts expensive multiplication of multi digit numbers to cheaper addition, and logarithmic versions of trigonometric tables further saved labor by reducing the number of necessary table lookups. The external secant or external distance of a curved track section is the shortest distance between the track and the intersection of the tangent lines from the ends of the arc, which equals the radius times the trigonometric exsecant of half the central angle subtended by the arc, By comparison, the versed sine of a curved track section is the furthest distance from the long chord (the line segment between endpoints) to the track – cf. Sagitta – which equals the radius times the trigonometric versine of half the central angle, These are both natural quantities to measure or calculate when surveying circular arcs, which must subsequently be multiplied or divided by other quantities. Charles Haslett (1855) found that directly looking up the logarithm of the exsecant and versine saved significant effort and produced more accurate results compared to calculating the same quantity from values found in previously available trigonometric tables. The same idea was adopted by other authors, such as Searles (1880). By 1913 Haslett's approach was so widely adopted in the American railroad industry that, in that context, "tables of external secants and versed sines [were] more common than [were] tables of secants". In the late 19th and 20th century, railroads began using arcs of an Euler spiral as a track transition curve between straight or circular sections of differing curvature. These spiral curves can be approximately calculated using exsecants and versines. Solving the same types of problems is required when surveying circular sections of canals and roads, and the exsecant was still used in mid 20th century books about road surveying. The exsecant has sometimes been used for other applications, such as beam theory and depth sounding with a wire. In recent years, the availability of calculators and computers has removed the need for trigonometric tables of specialized functions such as this one. Exsecant is generally not directly built into calculators or computing environments (though it has sometimes been included in software libraries), and calculations in general are much cheaper than in the past, no longer requiring tedious manual labor.
Катастрофическая отмена для небольших углов
Наивное вычисление выражений (версинуса) и (эксеканса) проблематично для малых углов, где вычисление разности между двумя приблизительно равными величинами приводит к катастрофической потере значимости: поскольку большинство цифр каждой величины совпадают, они сокращаются при вычитании, что приводит к результату с меньшей точностью. Например, секанс 1° равен 1=sec 1° ≈ , при этом несколько старших цифр оказываются нулями, в то время как общий логарифм эксеканса 1° равен 1=log exsec 1° ≈ , где все цифры имеют смысл. Если логарифм эксеканса вычисляется путем поиска секанса в шестизначной тригонометрической таблице и последующего вычитания 1, то разность 1=sec 1° − 1 ≈ имеет только 3 значащие цифры, и после вычисления логарифма верны лишь три цифры: 1=log(sec 1° − 1) ≈ 1=−3.818156. Для еще меньших углов потеря точности становится еще более серьезной. Если таблица или компьютерная реализация функции эксеканса недоступна, эксеканс можно точно вычислить как или используя версинус, который сам может быть вычислен как sin θ tan (θ/2). Хаслетт использовал эти тождества для вычисления своих таблиц эксеканса и версинуса 1855 года. Для достаточно малого угла круговая дуга приблизительно имеет форму параболы, а версинус и эксеканс приблизительно равны друг другу и оба пропорциональны квадрату длины дуги.
Naïvely evaluating the expressions (versine) and (exsecant) is problematic for small angles where Computing the difference between two approximately equal quantities results in catastrophic cancellation: because most of the digits of each quantity are the same, they cancel in the subtraction, yielding a lower precision result. For example, the secant of 1° is 1=sec 1° ≈ , with the leading several digits wasted on zeros, while the common logarithm of the exsecant of 1° is 1=log exsec 1° ≈ , all of whose digits are meaningful. If the logarithm of exsecant is calculated by looking up the secant in a six place trigonometric table and then subtracting 1, the difference 1=sec 1° − 1 ≈ has only 3 significant digits, and after computing the logarithm only three digits are correct, 1=log(sec 1° − 1) ≈ 1=−3.818156. For even smaller angles loss of precision is worse. If a table or computer implementation of the exsecant function is not available, the exsecant can be accurately computed as or using versine, which can itself be computed as <math>\sin \theta \, \tan \tfrac12\theta\,\vphantom\Big Haslett used these identities to compute his 1855 exsecant and versine tables. For a sufficiently small angle, a circular arc is approximately shaped like a parabola, and the versine and exsecant are approximately equal to each other and both proportional to the square of the arclength.