Тармақталған манифольдтар: Математикалық анықтама және түрлері
Branched manifold
Бұтақтанған манифольдтар: математикадағы ерекшеліктері мен жақсы анықталған жанама кеңістіктері. Динамикалық жүйелерде, үш манифольдтар геометриясында қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада тармақталған көптүрлілік – әрбір нүктеде дұрыс анықталған жанама кеңістігі болатын, және өте шектеулі типтегі ерекшеліктеріне ие болуы мүмкін, дифференциалданатын көптүрліліктің жалпылама түрі. Тармақталған n-көптүрлілік, n-өлшемді "координаталық сызбалармен" жабылады, олардың әрқайсысы Rn-дегі бірдей дифференциалданатын n-дискіге гомеоморфты түрде проекцияланатын бір немесе бірнеше "тармақтарды" қамтиды. Тармақталған көптүрліліктер алғаш рет динамикалық жүйелер теориясында Смейл құрастырған бір өлшемді гиперболалық тартымдылықтармен байланысты пайда болды және Р.Ф. Уильямс оларды кеңейтілген тартымдылықтар туралы бірқатар мақалаларында формалдады. Төмен өлшемдердегі арнайы жағдайлар "теміржолдар" (n = 1) және тармақталған беттер (n = 2) деп белгілі, және олар Тёрстоннан кейін үш коллектордың геометриясында маңызды рөл атқарады.
In mathematics, a branched manifold is a generalization of a differentiable manifold which may have singularities of very restricted type and admits a well defined tangent space at each point. A branched n manifold is covered by n dimensional "coordinate charts", each of which involves one or several "branches" homeomorphically projecting into the same differentiable n disk in Rn. Branched manifolds first appeared in the dynamical systems theory, in connection with one dimensional hyperbolic attractors constructed by Smale and were formalized by R. F. Williams in a series of papers on expanding attractors. Special cases of low dimensions are known as train tracks (n = 1) and branched surfaces (n = 2) and play prominent role in the geometry of three manifolds after Thurston.
Мысалдар
Сырттан қарағанда, тармақталған n-көптүрлілік – бұл кейбір Евклид кеңістігіне енгізілген n-өлшемді кешендер, сондықтан әрбір нүктеде жақсы анықталған n-өлшемді жанама кеңістік болады. Шеттері бір бетке тегіс енгізілген доғалар болатын шекті график, егер берілген төбе v-ге жататын барлық шеттер v нүктесінде бірдей жанама сызыққа ие болса, онда ол тармақталған бір-көптүрлілік немесе пойыз жолы (пойыз жолы түсінігінің бірнеше нұсқасы бар) болып саналады, мұнда төбелердің валенттілігіне ешқандай шектеу қойылмайды. Нақты мысал ретінде, жазықтықтағы екі сырттан жанасқан шеңберден құралған «сегіздік» пішінін қарастырайық. R3 кеңістігіндегі екі кешен бірнеше жапырақтардан тұрады, олар белгілі бір екі қисық бойында жұптармен немесе осы екі қисықтың көлденең қиылысқан оқшауланған нүктелерінде үштіктермен біріге алады, бұл тармақталған екі-көптүрлілік немесе тармақталған бет. Мысалы, Т (жоғарғы), М (орталық) және В (төменгі) деп белгіленген Евклид жазықтығының үш данасынан алынған K кеңістігін қарастырайық. Бұл үшін Т және М жазықтықтарындағы y ≤ 0 жарты жазықтықтарын және М және В жазықтықтарындағы x ≤ 0 жарты жазықтықтарын біріктіріңіз. М-ді R3 кеңістігіндегі z=0 жазықтықтағы координаталық жазықтық ретінде елестете аламыз, ал Т – М-ден жоғары қарай, x осі бойымен оңға қарай (оң y бағытында) иілген жапырақ, ал В – М-ден төмен қарай, y осі бойымен алға қарай (оң x бағытында) иілген жапырақ. М жазықтығындағы координаталық осьтер – K кеңістігінің екі қисығы, олар (0,0) нүктесінде көлденең қиылысады.
Extrinsically, branched n manifolds are n dimensional complexes embedded into some Euclidean space such that each point has a well defined n dimensional tangent space. A finite graph whose edges are smoothly embedded arcs in a surface, such that all edges incident to a given vertex v have the same tangent line at v, is a branched one manifold, or train track (there are several variants of the notion of a train track — here no restriction is placed on the valencies of the vertices). As a specific example, consider the "figure eight" formed by two externally tangent circles in the plane. A two complex in R3 consisting of several leaves that may tangentially come together in pairs along certain double curves, or come together in triples at isolated singular points where these double curves intersect transversally, is a branched two manifold, or branched surface. For example, consider the space K obtained from 3 copies of the Euclidean plane, labelled T (top), M (middle) and B (bottom) by identifying the half planes y ≤ 0 in T and M and the half planes x ≤ 0 in M and B. One can imagine M being the flat coordinate plane z=0 in R3, T a leaf curling upward from M along the x axis to the right (positive y direction) and B another leaf curling downward from M along the y axis in front (positive x direction). The coordinate axes in the M plane are the double curves of K, which intersect transversally at a unique triple point (0,0).