Разветвлённые многообразия: определение и примеры.
Branched manifold
Разветвлённые многообразия в математике: обобщение дифференцируемых многообразий с сингулярностями. Применение в динамических системах и геометрии трёхмерных пространств.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике, разветвленное многообразие — это обобщение дифференцируемого многообразия, которое может иметь сингулярности очень ограниченного типа и допускает хорошо определенное касательное пространство в каждой точке. Разветвленное n-многообразие покрывается n-мерными "координатными картами", каждая из которых содержит одну или несколько "ветвей", гомеоморфно проецирующихся в один и тот же дифференцируемый n-диск в Rn. Разветвленные многообразия впервые появились в теории динамических систем в связи с одномерными гиперболическими аттракторами, построенными Смейлом, и были формализованы Р. Ф. Уильямсом в серии работ о расширяющихся аттракторах. Частные случаи малых размерностей известны как "рельсовые пути" (n = 1) и разветвленные поверхности (n = 2) и играют важную роль в геометрии трехмерных многообразий после работ Тёрстона.
In mathematics, a branched manifold is a generalization of a differentiable manifold which may have singularities of very restricted type and admits a well defined tangent space at each point. A branched n manifold is covered by n dimensional "coordinate charts", each of which involves one or several "branches" homeomorphically projecting into the same differentiable n disk in Rn. Branched manifolds first appeared in the dynamical systems theory, in connection with one dimensional hyperbolic attractors constructed by Smale and were formalized by R. F. Williams in a series of papers on expanding attractors. Special cases of low dimensions are known as train tracks (n = 1) and branched surfaces (n = 2) and play prominent role in the geometry of three manifolds after Thurston.
Примеры
Внешне, разветвленные n-многообразия — это n-мерные комплексы, вложенные в некоторое евклидово пространство, такие что в каждой точке существует однозначно определенное n-мерное касательное пространство. Конечный граф, чьи ребра плавно встроены в поверхность, причем все ребра, инцидентные данной вершине v, имеют одну и ту же касательную прямую в точке v, является разветвленным одномерным многообразием, или железнодорожным путем (существует несколько вариантов определения железнодорожного пути — здесь не накладывается никаких ограничений на валентность вершин). В качестве конкретного примера рассмотрим «восьмерку», образованную двумя внешне касающимися окружностями на плоскости. Двумерный комплекс в R3, состоящий из нескольких листьев, которые могут тангенциально сходиться попарно вдоль определенных двойных кривых или сходиться потроенно в изолированных сингулярных точках, где эти двойные кривые пересекаются трансверсально, представляет собой разветвленное двумерное многообразие, или разветвленную поверхность. Например, рассмотрим пространство K, полученное из трех копий евклидовой плоскости, обозначенных T (верхняя), M (средняя) и B (нижняя), путем отождествления полуплоскостей y ≤ 0 в T и M и полуплоскостей x ≤ 0 в M и B. Можно представить M как плоскую координатную плоскость z=0 в R3, T — как лист, закручивающийся вверх от M вдоль оси x вправо (в положительном направлении оси y), а B — как другой лист, закручивающийся вниз от M вдоль оси y вперед (в положительном направлении оси x). Координатные оси в плоскости M являются двойными кривыми K, которые пересекаются трансверсально в единственной тройной точке (0,0).
Extrinsically, branched n manifolds are n dimensional complexes embedded into some Euclidean space such that each point has a well defined n dimensional tangent space. A finite graph whose edges are smoothly embedded arcs in a surface, such that all edges incident to a given vertex v have the same tangent line at v, is a branched one manifold, or train track (there are several variants of the notion of a train track — here no restriction is placed on the valencies of the vertices). As a specific example, consider the "figure eight" formed by two externally tangent circles in the plane. A two complex in R3 consisting of several leaves that may tangentially come together in pairs along certain double curves, or come together in triples at isolated singular points where these double curves intersect transversally, is a branched two manifold, or branched surface. For example, consider the space K obtained from 3 copies of the Euclidean plane, labelled T (top), M (middle) and B (bottom) by identifying the half planes y ≤ 0 in T and M and the half planes x ≤ 0 in M and B. One can imagine M being the flat coordinate plane z=0 in R3, T a leaf curling upward from M along the x axis to the right (positive y direction) and B another leaf curling downward from M along the y axis in front (positive x direction). The coordinate axes in the M plane are the double curves of K, which intersect transversally at a unique triple point (0,0).