Геодезические на искривленных поверхностях и римановых многообразиях.

Введение

Прямой путь на искривлённой поверхности или геодезические в римановом многообразии в целом.

В геометрии, геодезическая (,/dʒ//iː//.//ə/'/d//ɛ//s//ɪ//k//, // //oʊ// //, // /'/d//iː//s//ɪ//k//, // //z//ɪ//k/) — это кривая, представляющая в некотором смысле кратчайший путь (дугу) между двумя точками на поверхности или, в более общем случае, в римановом многообразии. Этот термин также имеет значение в любом дифференцируемом многообразии с аффинной связностью. Это обобщение понятия "прямой линии". Существительное "геодезическая" и прилагательное "геодезический" происходят от геодезии — науки об измерении размера и формы Земли, хотя многие из базовых принципов могут быть применены к любой эллипсоидальной геометрии. В первоначальном смысле, геодезическая представляла собой кратчайший маршрут между двумя точками на поверхности Земли. Для сферической Земли это сегмент большого круга (см. также расстояние по большому кругу). С тех пор термин был обобщён на более абстрактные математические пространства; например, в теории графов можно рассматривать геодезическую между двумя вершинами/узлами графа. В римановом многообразии или подмногообразии, геодезические характеризуются свойством иметь нулевую геодезическую кривизну. В более общем случае, при наличии аффинной связности, геодезическая определяется как кривая, тангенциальные векторы которой остаются параллельными при переносе вдоль неё. Применение этого к связности Леви-Чивиты римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие. Геодезические имеют особое значение в общей теории относительности. В общей теории относительности, времениподобные геодезические описывают движение свободно падающих пробных частиц.

Введение

Локально кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, рассматриваемом как риманов многообразие, может быть определен с использованием уравнения длины кривой (функции f из открытого интервала вещественных чисел в пространство) и последующей минимизации этой длины между точками с помощью вариационного исчисления. Это порождает некоторые незначительные технические трудности, поскольку существует бесконечномерное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить множество кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, то есть расстояние от f(s) до f(t) вдоль кривой равно |s−t|. Эквивалентно, можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). Интуитивно эту вторую формулировку можно понять, заметив, что эластичная лента, натянутая между двумя точками, будет сжиматься в ширину, тем самым минимизируя свою энергию. Получаемая форма ленты является геодезической. Возможно, что несколько различных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как, например, для двух диаметрально противоположных точек на сфере. В этом случае любая из этих кривых является геодезической. Непрерывный отрезок геодезической снова является геодезической. В общем случае, геодезические не совпадают с «кратчайшими кривыми» между двумя точками, хотя эти два понятия тесно связаны. Разница заключается в том, что геодезические локально представляют собой кратчайшее расстояние между точками и параметризуются «с постоянной скоростью». Движение по «длинной дуге» по большому кругу между двумя точками на сфере является геодезической, но не кратчайшим путем между этими точками. Отображение из единичного интервала на числовой прямой на саму себя дает кратчайший путь между 0 и 1, но не является геодезической, поскольку скорость соответствующего движения точки не является постоянной. Геодезические часто встречаются в изучении римановой геометрии и, в более широком смысле, метрической геометрии. В общей теории относительности геодезические в пространстве-времени описывают движение точечных частиц под действием только силы тяжести. В частности, траектория падающего камня, орбитального спутника или форма планетарной орбиты — все это геодезические в искривленном пространстве-времени. В более общем плане, тема суб-римановой геометрии рассматривает пути, по которым могут двигаться объекты, когда они не являются свободными, и их движение ограничено различными способами. В данной статье представлен математический формализм, связанный с определением, нахождением и доказательством существования геодезических в случае римановых многообразий. В статье «Связь Леви-Чивиты» рассматривается более общий случай псевдориманова многообразия, а в статье «Геодезическая (общая теория относительности)» более подробно рассматривается частный случай общей теории относительности.

A locally shortest path between two given points in a curved space, assumed to be a Riemannian manifold, can be defined by using the equation for the length of a curve (a function f from an open interval of R to the space), and then minimizing this length between the points using the calculus of variations. This has some minor technical problems because there is an infinite dimensional space of different ways to parameterize the shortest path. It is simpler to restrict the set of curves to those that are parameterized "with constant speed" 1, meaning that the distance from f(s) to f(t) along the curve equals |s−t|. Equivalently, a different quantity may be used, termed the energy of the curve; minimizing the energy leads to the same equations for a geodesic (here "constant velocity" is a consequence of minimization). Intuitively, one can understand this second formulation by noting that an elastic band stretched between two points will contract its width, and in so doing will minimize its energy. The resulting shape of the band is a geodesic. It is possible that several different curves between two points minimize the distance, as is the case for two diametrically opposite points on a sphere. In such a case, any of these curves is a geodesic. A contiguous segment of a geodesic is again a geodesic. In general, geodesics are not the same as "shortest curves" between two points, though the two concepts are closely related. The difference is that geodesics are only locally the shortest distance between points, and are parameterized with "constant speed". Going the "long way round" on a great circle between two points on a sphere is a geodesic but not the shortest path between the points. The map from the unit interval on the real number line to itself gives the shortest path between 0 and 1, but is not a geodesic because the velocity of the corresponding motion of a point is not constant. Geodesics are commonly seen in the study of Riemannian geometry and more generally metric geometry. In general relativity, geodesics in spacetime describe the motion of point particles under the influence of gravity alone. In particular, the path taken by a falling rock, an orbiting satellite, or the shape of a planetary orbit are all geodesics in curved spacetime. More generally, the topic of sub Riemannian geometry deals with the paths that objects may take when they are not free, and their movement is constrained in various ways. This article presents the mathematical formalism involved in defining, finding, and proving the existence of geodesics, in the case of Riemannian manifolds. The article Levi Civita connection discusses the more general case of a pseudo Riemannian manifold and geodesic (general relativity) discusses the special case of general relativity in greater detail.

Примеры

Наиболее известными примерами являются прямые линии в евклидовой геометрии. На сфере образами геодезических являются большие круги. Кратчайший путь от точки А до точки В на сфере задается более короткой дугой большого круга, проходящего через А и В. Если А и В – антиподальные точки, то между ними существует бесконечно много кратчайших путей. Геодезические на эллипсоиде ведут себя сложнее, чем на сфере; в частности, они, как правило, не замкнуты (см. рисунок).

Треугольники

Геодезический треугольник образуется геодезическими, соединяющими каждую пару из трех точек на заданной поверхности. На сфере геодезические являются дугами больших кругов, формируя сферический треугольник.

Метрическая геометрия

В метрической геометрии геодезическая — это кривая, которая локально в каждой точке минимизирует расстояние. Более точно, кривая γ: I → M из интервала I вещественных чисел в метрическое пространство M является геодезической, если существует константа v ≥ 0, такая что для любого t ∈ I существует окрестность J точки t в I, для которой для любых t1, t2 ∈ J выполняется

Это обобщает понятие геодезической для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемые геодезические часто снабжены естественной параметризацией, то есть в указанном выше тождестве v = 1 и

Если последнее равенство выполняется для всех t1, t2 ∈ I, то геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем. В общем случае, метрическое пространство может не иметь геодезических, за исключением постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в пространстве с метрикой длины соединены минимизирующей последовательностью кусочно-гладких путей, хотя эта минимизирующая последовательность не обязана сходиться к геодезической.

Расчет вариаций

Для изучения энергетического функционала E можно применить методы классического вариационного исчисления. Первая вариация энергии определяется в локальных координатах следующим образом:

Критическими точками первой вариации являются именно геодезические. Вторая вариация определяется следующим образом:

В определенном смысле, нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби. Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации вдоль геодезических. Применяя вариационные методы из классической механики, можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки. Они являются решениями соответствующих уравнений Гамильтона, при этом (псевдо)риманова метрика выступает в качестве гамильтониана.