Кіріспе

Математикада гиперболалық метрикалық кеңістік – нүктелер арасындағы белгілі бір метрикалық қатынастарды қанағаттандыратын (мөлшерлік тұрғыдан теріс емес нақты сан δ-ға тәуелді) метрикалық кеңістік. Михаил Громов енгізген бұл анықтама классикалық гиперболалық геометрия мен ағаштардың метрикалық қасиеттерін кеңейтеді. Гиперболалық қасиет – ірі масштабты қасиет және Громов гиперболалық топтары деп аталатын белгілі бір шексіз топтарды зерттеуде өте пайдалы.

Анықтамалар

Бұл тармақта гиперболалық кеңістіктің әртүрлі анықтамалары келтірілген. Егер метрикалық кеңістік белгілі бір жағдайда гиперболалық болса, онда ол (Громов) гиперболалық деп айтылады.

Үшбұрышты қолданатын анықтамалар

Тұрақты көбейту арқылы өзгергенге дейін, метрикалық кеңістік геодезиялық болғанда үшбұрыштарға қатысты эквивалентті геометриялық анықтама бар, яғни кез келген екі нүкте геодезиялық кесіндінің соңғы нүктелері болып табылады (нақты сандардың компактты субинтервалының изометриялық бейнесі). Gromov көбейтімдері арқылы анықтаманы беру үшін кеңістіктің геодезиялық болуы қажет емес. Геодезиялық үшбұрыш – бұл үш геодезиялық кесіндінің біріктірілуі (мұнда соңғы нүктелері бар кесіндіні білдіреді). Егер кез келген нүкте үшін , және басқа қабырғалардағы нүктелер үшін де осындай арақашықтық болса, онда үшбұрыш жұқа деп аталады. Гиперболалық кеңістіктің анықтамасы – барлық геодезиялық үшбұрыштары жұқа болатын геодезиялық метрикалық кеңістік. Бұл анықтама әдетте Элияху Рипске жатқызылады. Геодезиялық үшбұрыштың шамамен ортасы түсінігін пайдалана отырып, тағы бір анықтама беруге болады: бұл үшбұрыштың кез келген қабырғасынан (орталықтың «шамамен» нұсқасы) ең көп қашықтықта орналасқан нүкте. Егер әрбір геодезиялық үшбұрыштың ортасы болса, онда кеңістік гиперболалық болып табылады. Геодезиялық үшбұрыштарды пайдаланатын гиперболалық кеңістіктің бұл екі анықтамасы толыққанды бірдей емес, бірақ мұндай бар , оның арқасында бірінші мағынадағы гиперболалық кеңістік екінші мағынада гиперболалық болады, және керісінше. Осылайша гиперболалық кеңістік ұғымы таңдалған анықтамаға тәуелсіз.

Мысалдар

Гиперболалық жазықтық гиперболалық болып табылады: шын мәнінде, геодезиялық үшбұрыштың іштей сызылған шеңбері үшбұрыштағы ең үлкен диаметрлі шеңбер болып табылады және әрбір геодезиялық үшбұрыш идеалды үшбұрыштың ішінде орналасқан, олардың барлығы диаметрі 2 log 3 болатын іштей сызылған шеңберлермен изометриялық. Атап айтқанда, бұл жағдайда Громов өнімі де геодезиялық үшбұрыштың іштей сызылған шеңберінің тұрғысынан қарапайым түсіндіруге ие. Шындығында, (A,B)C саны – C нүктесінен іштей сызылған шеңбердің жақын қабырғаларымен жанасқан нүктелеріне дейінгі гиперболалық қашықтық p болып табылады: себебі диаграммадан 1 = c = (a – p) + (b – p), сондықтан 1 = p = (a + b – c) / 2 = (A,B)C.

Евклид жазықтығы гиперболалық емес, мысалы, гомотетиялардың болуы себебінде. Гиперболалық кеңістікке екі "дегенеративті" мысал – шектелген диаметрге ие кеңістіктер (мысалы, соңғы немесе ықшам кеңістіктер) және нақты түзу. Метрикалық ағаштар және жалпы нақты ағаштар – гиперболалық кеңістіктердің ең қарапайым және қызықты мысалдары, өйткені олар 0 гиперболалық (яғни, барлық үшбұрыштар үшбұрыштар). Евклидтік теңқабырғалы үшбұрыштарға бөлудің 1 қаңқасы гиперболалық емес (әрине, ол Евклид жазықтығына квазиизометриялық). Жазықтықтың үшбұрыштығының гиперболалық 1 қаңқасы болуы үшін әрбір төбесінің дәрежесі 7 немесе одан жоғары болуы керек. Екі өлшемді тор гиперболалық емес (ол Евклид жазықтығына квазиизометриялық). Бұл – тордың негізгі тобының Кейли графигі; жоғары туысты беттердің негізгі топтарының Кейли графиктері гиперболалық (әрине, гиперболалық жазықтыққа квазиизометриялық).

Гиперболика және қисықтық

Гиперболалық жазықтық (және жалпы алғанда, қималық қисықтығы кез келген Хадамард көптіктері) гиперболалық болып табылады. Егер Риманн метрикасын белгілі бір шамаға көбейтсек, онда арақашықтық сол шамаға көбейтіледі, демек, біз гиперболалық кеңістік аламыз. Қисықтық сол шамаға көбейтілгендіктен, осы мысалда кеңістік қаншалықты (теріс) қисық болса, гиперболалық тұрақтысы соншалықты төмен болады. Теріс қисықтығы бар CAT кеңістіктері де осыған ұқсас мысалдар болып табылады. Алайда, қисықтық пен гиперболалыққа қатысты мынаны атап өткен жөн: қисықтық негізінен жергілікті қасиет болса, гиперболалық – ірі масштабты қасиет, ол жергілікті (яғни шектелген аймақта болатын) метрикалық құбылыстарды байқамайды. Мысалы, гиперболалық кеңістік пен кез келген метрикамен бастапқыларын кеңейтетін компакт кеңістіктің біріктірілуі гиперболалық болып қалады.

Квази-изометриядағы өзгермеушілік

"Ірі масштабты" ұғымын нақтылаудың бір жолы квазиизометрияға қатысты инварианттылықты талап ету болып табылады. Бұл гиперболичность үшін де дұрыс. Егер геодезиялық метрикалық кеңістік гиперболалық кеңістікке квазиизометриялық болса, онда белгілі бір тұрақтыға ие гиперболалық кеңістік бар. Бұл тұрақты квазиизометрияның көбейту және қосу тұрақтыларына тәуелді.

Квазиконвекс субкеңістіктер

Геодезиялық метрикалық кеңістіктің ішкі кеңістігі квазиконвекс деп аталады, егер бір тұрақты сан болса, онда осы кеңістіктегі екі нүкте арасындағы кез келген геодезиялық сызық оның ішіндегі қашықтықтан аспайтын болады. Гиперболалық кеңістіктің квазиконвекс ішкі кеңістігі гиперболалық болады.

Асимптотикалық конустар

Гиперболалық кеңістіктің барлық асимптотикалық конустары нақты ағаштар болып табылады. Осы қасиет гиперболалық кеңістікті сипаттайды.

Гиперболалық кеңістіктің шекарасы

Гиперболалық кеңістіктердегі топтық әрекеттерді талдау үшін пайдалы болған шексіз шекараның табиғи түсінігі, симплекстік ағаштың ұштарының құрылымын жалпылау арқылы туындайды. Осы абзаста гиперболалық геодезиялық метрикалық кеңістік қарастырылады.

Жарықтарды пайдаланатын орынның анықтамасы

Квазиизометриялық енгізулердің екі енгізуі болсын ("квазигеодезиялық сәулелер"). Олар эквивалентті деп есептеледі, егер ғана функция шектелген болса. Егер кеңістік дұрыс болса, онда осындай енгізулердің барлық жиынтығы, оның табиғи топологиясымен эквиваленттілік бойынша модульдік, жоғарыда анықталғандай гомеоморфты болады. Осыған ұқсас түсініктеме – базалық нүктені бекіту және осы нүктеден басталатын квазигеодезиялық сәулелерді ғана қарау. Егер кеңістік геодезиялық және дұрыс болса, онда оны нақты геодезиялық сәулелермен шектеуге болады.

Мысалдар

Егер simplicial тұрақты ағаш болса, онда шекарасы ұштар кеңістігі ғана болады, ол Кантор жиыны. Бір нүктені бекіту арқылы кеңістікте табиғи қашықтық пайда болады: нүктелер, сәулелер арқылы бейнеленген, бастапқы нүктеден шығып, арақашықтығымен сипатталады. Егер бірлік дискі болса, яғни гиперболалық жазықтық үшін Пуанкаре дискісінің моделі болса, дисктегі гиперболалық метрика келесідей: және Громов шекарасы бірлік шеңбермен сәйкес келеді. Өлшемді гиперболалық кеңістіктің шекарасы өлшемді сфераға гомеоморфты және метрикалар жоғарыда көрсетілгенге ұқсас.

Буземан функциялары

Егер ол дұрыс болса, онда оның шекарасы ауысулар бойынша Буземан функциялары кеңістігіне гомеоморфты.

Изометриялардың шекараға әсері және олардың жіктелуі

Екі гиперболалық кеңістік арасындағы квазиизометрия шекараларда гомеоморфизм тудырады. Атап айтқанда, изометриялар тобы гомеоморфизмдер арқылы әрекет етеді. Бұл әрекетті изометрияларды шекарадағы динамикалық мінез-құлқына сәйкес жіктеуге пайдалануға болады, бұл ағаштар мен классикалық гиперболалық кеңістіктер үшін жалпылама жағдай. Егер -ның изометриясы болса, онда келесі жағдайлардың бірі орын алады:

Бірінші жағдай: -ның шекарадағы орбитасы шектелген (егер дұрыс болса, онда тұрақты нүктеге ие). Мұндай изометрия эллипстік изометрия деп аталады. Екінші жағдай: -ның шекарасында дәл екі тұрақты нүктесі бар және кез келген оң орбита тек қана жайында жинақталады. Мұндай изометрия гиперболалық изометрия деп аталады. Үшінші жағдай: шекарада дәл бір тұрақты нүктесі бар және барлық орбиталар осы нүктеде жинақталады. Мұндай изометрия параболалық изометрия деп аталады.

Тағы да мысалдар

Гиперболалық топтар теориясының ішкі жиындары гиперболалық кеңістіктердің қосымша мысалдарына қолданылуы мүмкін, мысалы, кішкентай жойылған топтың Кейли графигі. Сонымен қатар, кездейсоқ топтардың белгілі бір модельдерінің Кейли графиктері (іс жүзінде, кездейсоқ түрде жасалған шексіз дұрыс график) көбінесе гиперболалық болатыны белгілі. Кейбір кеңістіктердің гиперболалық екенін дәлелдеу қиын және қызықты болуы мүмкін. Мысалы, төмендегі гиперболалық нәтижелер оларға әрекет ететін топтар үшін жаңа құбылыстардың ашылуына әкелді. Иіс қисығының гиперболалық қасиеті карталау класы тобы туралы жаңа нәтижелерге әкелді. Сол сияқты, сыртқы автоморфизм тобы Out(Fn) -мен байланысты белгілі бір графтардың гиперболалық қасиеті осы топ туралы жаңа нәтижелерге әкелді.