Введение

В математике гиперболическое метрическое пространство — это метрическое пространство, удовлетворяющее определённым метрическим соотношениям (количественно зависящим от неотрицательного вещественного числа δ) между точками. Определение, предложенное Михаилом Громовым, обобщает метрические свойства классической гиперболической геометрии и деревьев. Гиперболичность — это свойство, проявляющееся в больших масштабах, и оно очень полезно при изучении определённых бесконечных групп, называемых группами Громова, обладающими гиперболичностью.

Определения

В этом абзаце мы приводим различные определения гиперболического пространства. Метрическое пространство называется гиперболическим (в смысле Громова), если оно является гиперболическим для некоторого .

Определения с использованием треугольников

До изменения на постоянный множитель существует эквивалентное геометрическое определение, использующее треугольники, когда метрическое пространство является геодезическим, то есть любые две точки являются конечными точками геодезического сегмента (изометрическое отображение компактного подинтервала действительных чисел). Следует отметить, что определение через произведения Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим. Геодезический треугольник с вершинами – это объединение трех геодезических сегментов (где обозначает сегмент с конечными точками и ). Если для любой точки существует точка на расстоянии меньше , и аналогично для точек на других сторонах, и , то треугольник называется тонким. Определение гиперболического пространства – это геодезическое метрическое пространство, у которого все геодезические треугольники тонкие. Это определение обычно приписывается Элияху Рипсу. Другое определение можно дать, используя понятие приближенного центра геодезического треугольника: это точка, находящаяся на расстоянии не более от любой стороны треугольника (приблизительная версия инцентра). Пространство называется гиперболическим, если каждый геодезический треугольник имеет центр. Эти два определения гиперболического пространства, использующие геодезические треугольники, не являются строго эквивалентными, но существует такое , что гиперболическое пространство в первом смысле является гиперболическим во втором, и наоборот. Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения.

Примеры

Гиперболическая плоскость является гиперболической: фактически, внутрикасательная окружность геодезического треугольника — это окружность наибольшего диаметра, содержащаяся в треугольнике, и каждый геодезический треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых изметричны с внутрикасательными окружностями диаметром 2 log 3. Обратите внимание, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию с точки зрения внутрикасательной окружности геодезического треугольника. На самом деле величина (A,B)C — это просто гиперболическое расстояние p от C до одной из точек касания внутрикасательной окружности с прилежащими сторонами: из диаграммы следует, что 1 = c = (a – p) + (b – p), таким образом, 1 = p = (a + b – c)/2 = (A,B)C.

Евклидова плоскость не является гиперболической, например, из-за существования гомотетий. Два "вырожденных" примера гиперболических пространств — пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная прямая. Метрические деревья и, в более общем случае, вещественные деревья являются наиболее простыми интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они 0-гиперболические (то есть все треугольники являются треножниками). 1-скелет триангуляции равносторонними треугольниками Евклида не является гиперболическим (на самом деле он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости имеет гиперболический 1-скелет, если каждая вершина имеет степень 7 или более. Двумерная решетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это граф Кэли фундаментальной группы тора; графы Кэли фундаментальных групп поверхности более высокого рода являются гиперболическими (на самом деле они квазиизометричны гиперболической плоскости).

Гиперболичность и кривизна

Гиперболическая плоскость (и, в более общем случае, любое многообразие Адамара с секционной кривизной) является гиперболическим. Если мы масштабируем риманову метрику в раз, то расстояния умножаются на , и таким образом мы получаем пространство, которое остаётся гиперболическим. Поскольку кривизна также умножается на , мы видим, что в этом примере чем сильнее (отрицательно) искривлено пространство, тем меньше константа гиперболичности. Подобными примерами являются CAT-пространства с отрицательной кривизной. Однако, говоря о кривизне и гиперболичности, следует отметить, что кривизна – это по сути локальное свойство, а гиперболичность – свойство, характеризующее пространство в больших масштабах, и нечувствительное к локальным (то есть происходящим в ограниченной области) метрическим явлениям. Например, объединение гиперболического пространства с компактным пространством, снабжённым любой метрикой, расширяющей исходные, остаётся гиперболическим.

Инвариантность при квазиизометрии

Один из способов уточнить значение "большого масштаба" — потребовать инвариантности относительно квазиизометрии. Это справедливо для гиперболичности. Если геодезическое метрическое пространство квазиизометрично гиперболическому пространству, то существует такое число, что является гиперболическим. Константа зависит от и от мультипликативной и аддитивной констант квазиизометрии.

Квазиконвексные подпространства

Подпространство геодезического метрического пространства называется квазивыпуклым, если существует константа, такая что любая геодезическая между двумя точками этого подпространства остается на расстоянии не более чем от .
Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства является гиперболическим.

Асимптотические конусы

Все асимптотические конусы гиперболического пространства являются реальными деревьями. Это свойство характеризует гиперболические пространства.

Граница гиперболического пространства

Обобщая построение концов упрощенного дерева, возникает естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось весьма полезным для анализа действий групп. В данном абзаце рассматривается геодезическое метрическое пространство, являющееся гиперболическим.

Определение для собственных пространств с использованием лучей

Пусть даны два квазиизометрических вложения из в ("квазигеодезические лучи"). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция ограничена на Если пространство является правильным, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности с его естественной топологией гомеоморфно , как определено выше. Аналогично можно зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, начинающиеся из этой точки. В случае, когда пространство геодезическое и правильное, можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами.

Примеры

Когда это симплициальное регулярное дерево, границей является просто пространство концов, которое является множеством Кантора. Фиксация точки задает естественное расстояние на : две точки, представленные лучами, исходящими из , находятся на расстоянии.

Когда это единичный диск, то есть модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости, гиперболическая метрика на диске равна

и граница Громова может быть отождествлена с единичной окружностью. Граница -мерного гиперболического пространства гомеоморфна -мерной сфере, а метрики аналогичны приведенной выше.

Функции Буземана

Если область является правильной, то её граница гомеоморфна пространству функций Буземана на пространстве модульных сдвигов.

Действие изометрий на границу и их классификация

Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. В частности, группа изометрий действует гомеоморфизмами на Эта группа может быть использована для классификации изометрий в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая классификацию для деревьев и классических гиперболических пространств. Пусть — изометрия , тогда один из следующих случаев имеет место:

Первый случай: имеет ограниченную орбиту на (в случае, когда пространство является собственным, это подразумевает, что у изометрии есть неподвижная точка в ). Тогда она называется эллиптической изометрией. Второй случай: у изометрии ровно две неподвижные точки на , и каждая положительная орбита стремится только к . Тогда она называется гиперболической изометрией. Третий случай: у изометрии ровно одна неподвижная точка на границе, и все орбиты стремятся к этой точке. Тогда она называется параболической изометрией.

Еще примеры

Подмножества теории гиперболических групп могут быть использованы для получения дополнительных примеров гиперболических пространств, например, графа Кейли малой группы отмен. Также известно, что графы Кейли определенных моделей случайных групп (которые по сути представляют собой случайно порожденные бесконечные регулярные графы) очень часто оказываются гиперболическими. Доказательство того, что определенное пространство является гиперболическим, может быть сложной и интересной задачей. Например, следующие результаты о гиперболичности привели к открытию новых явлений для групп, действующих в этих пространствах. Гиперболичность комплекса кривых привела к новым результатам о группе классов отображений. Аналогично, гиперболичность некоторых графов, связанных с внешней группой автоморфизмов Out(Fn), привела к новым результатам об этой группе.