Кіріспе
Қарапайым Ли алгебраларының тікелей қосындысы
Математикада, егер ол қарапайым Ли алгебраларының тікелей қосындысы болса, Ли алгебрасы жартылай қарапайым болып табылады. (Қарапайым Ли алгебрасы – нөлдік емес өзіндік идеалдары жоқ, абелдік емес Ли алгебрасы.) Мақаланың ішінде, егер басқаша айтылмаса, Ли алгебрасы – 0 сипаттамалы өріс үстіндегі шекті өлшемді Ли алгебрасы. Мұндай Ли алгебрасы үшін, егер нөлден өзгеше болса, келесі шарттар эквивалентті:
жартылай қарапайым;
Киллинг формасы, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), дегенгереген емес;
нөлден өзгеше абелдік идеалдары жоқ;
нөлден өзгеше шешілетін идеалдары жоқ;
радикалы (максималды шешілетін идеал) нөлге тең.
is semisimple;
the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non degenerate;
has no non zero abelian ideals;
has no non zero solvable ideals;
the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Маңыздылығы
Жартылай қарапайымдылықтың маңызы ең алдымен Леви ыдырауынан туындайды, ол әрбір шекті өлшемді Ли алгебрасы шешімді идеалдың (оның радикалы) және жартылай қарапайым алгебраның жартылай тікелей көбейтіндісі болып табылады деп мәлімдейді. Атап айтқанда, шешімді де, жартылай қарапайым да болатын нөлдік емес Ли алгебрасы жоқ. Жартылай қарапайым Ли алгебралары өте әдемі жіктемеге ие, бұл шешімді Ли алгебраларынан күрт өзгеше. Алгебралық жабық өрісте, нөлдік сипаттамасы бар жартылай қарапайым Ли алгебралары олардың түбірлік жүйесі арқылы толық жіктеледі, ал түбірлік жүйелер өз кезегінде Дикин диаграммалары арқылы жіктеледі. Алгебралық жабық емес өрістердегі жартылай қарапайым алгебраларды алгебралық жабық өрістердегілер тұрғысынан түсінуге болады, бірақ жіктеме біршама күрделірек; нақты жартылай қарапайым Ли алгебраларының жағдайы үшін, оларды Эли Картан жіктеген, нақты форманы қараңыз. Бұдан әрі, жартылай қарапайым Ли алгебраларының өкілдік теориясы жалпы Ли алгебраларына қарағанда әлдеқайда қарапайым. Мысалы, жартылай қарапайым Ли алгебрасындағы Жордан ыдырауы оның өкілдігіндегі Жордан ыдырауымен сәйкес келеді; бұл жалпы Ли алгебралары үшін дұрыс емес. Егер жартылай қарапайым болса, онда, атап айтқанда, әрбір сызықтық жартылай қарапайым Ли алгебрасы – арнайы сызықтық Ли алгебрасының субалгебрасы болып табылады. Ли алгебрасының құрылымын зерттеу жартылай қарапайым Ли алгебраларының өкілдік теориясының маңызды бөлігін құрайды.
Тарих
Кешенді сандар үстіндегі жартылай қарапайым Лай алгебраларын алғаш рет Вильгельм Киллинг (1888–90) жіктеді, бірақ оның дәлелі жеткілікті дәл болған жоқ. Эли Картан (1894) өз Ph.D. диссертациясында оның дәлелін қатаңдады, сонымен қатар жартылай қарапайым нақты Лай алгебраларын да жіктеді. Бұл кейіннен толықтырылды, ал қазіргі жіктеме 1947 жылы 22 жастағы Евгений Динкин Динкин диаграммалары арқылы берілді. Кейбір шағын түзетулер енгізілді (әсіресе Ж. П. Серре тарапынан), бірақ дәлелдің негізгі қағидалары өзгеріссіз қалды және оны кез келген стандартты анықтамалықтан табуға болады, мысалы .
Негізгі қасиеттері
Кез келген идеал, бөлінді және жартылай қарапайым Ли алгебраларының көбейтіндісі қайтадан жартылай қарапайым болады. Жартылай қарапайым Ли алгебрасының центрі тривиальды (өйткені центр абельдік идеал). Басқаша айтқанда, қосымша өкілдік инъективті. Сонымен қатар, бейнеленім туындылар жиыны арқылы анықталады. (Бұл Уайтхед леммасының ерекше жағдайы.) Қосымша өкілдік инъективті болғандықтан, жартылай қарапайым Ли алгебрасы қосымша өкілдік бойынша сызықтық Ли алгебрасы болып табылады. Бұл кейбір екіұштылыққа алып келуі мүмкін, өйткені кез келген Ли алгебрасы басқа векторлық кеңістікке қатысты сызықтық болып табылады (Адо теоремасы), бірақ міндетті түрде қосымша өкілдік арқылы емес. Бірақ практикада мұндай екіұштылық сирек кездеседі. Егер жартылай қарапайым Ли алгебрасы болса, онда (өйткені жартылай қарапайым және абельдік). Нөлдік сипаттамасы бар k өрісіндегі шекті өлшемді Ли алгебрасы жартылай қарапайым болады, егер және тек қана егер кез келген өріс кеңейтілімі үшін негізгі кеңейтілім жартылай қарапайым болса. Осылайша, мысалы, шекті өлшемді нақты Ли алгебрасы жартылай қарапайым болады, егер және тек қана оның кешендіктелуі жартылай қарапайым болса.
Құрылымы
Белгілі бір нөлдің алгебралық жабық өрісі бойынша (шексіз өлшемді) жартылай қарапайым Ли алгебрасы болсын. -ның құрылымын белгілі бір ерекше субальгебраның, атап айтқанда Картан субальгебрасының, қосымша әрекеті арқылы сипаттауға болады. Анықтама бойынша, Картан субалгебрасы (оны максималды торал субалгебра деп те атайды) – бұл максималды субалгебра, мұнда әрбір үшін диагональдастырылады. абелдік, сондықтан -ның барлық операторлары бір мезгілде диагональдастырылады. -ның әрбір сызықтық функциясы үшін деп белгілейміз (Бұл орталықтандырғышы болып табылады). Содан кейін
(Ең қиын дәлелдеуі керек нәрсе – . Стандартты дәлелдемелердің барлығының бейнелеу теориясынан алынған кейбір фактілері қолданылады; мысалы, Серре теріс салмақты примитивті элементі бар модульдің шексіз өлшемді екенін, бұл қарама-қайшылық тудыратынын пайдаланады.) коммутациялық қатынастармен берілген; яғни, стандартты базистің сәйкес келеді. -ның сызықтық функционалдарына қатысты тамырлар деп айтылады. (Егер болса, онда оператор нөлдік болады; яғни, орталықта жатыр, ол нөлге тең.) Сонымен қатар, бейнелеу теориясынан келесі симметриялық және интегралдық қасиеттер шығады: әрбір үшін,
The linear functionals in are called the roots of relative to The roots span (since if , then is the zero operator; i. e., is in the center, which is zero.) Moreover, from the representation theory of , one deduces the following symmetry and integral properties of : for each ,
(1) және (2) қасиеттеріне ие, бұл тұрақты нүктелер жиыны екенін білдіреді, яғни жоғарыда көрсетілгенге сәйкес гипержазыққа қатысты бейнелеу болып табылады. Осыдан тамыр жүйесі деп тұжырымдаймыз. Тамыр жүйесінің жалпы теориясынан, бір белгідегі бүтін сан коэффициенттері бар сызықтық комбинациясы болып табылатын базисі бар екенін білеміз; тамырлары қарапайым тамырлар деп аталады. т.б. Содан кейін элементтері (Шевалли генераторлары деп аталады) Ли алгебрасын генерациялайды. Олар Серре қатынастарында көрсетілгендей қатынастарды қанағаттандырады: , мұндағы . Бұның керісі де дұрыс: яғни, генераторлар және жоғарыда көрсетілгендей қатынастар арқылы туындаған Ли алгебрасы (шексіз өлшемді) жартылай қарапайым Ли алгебрасы болып табылады, ол жоғарыда көрсетілгендей тамыр кеңістігінің ыдырауына ие (егер Картан матрицасы болса). Бұл Серре теоремасы. Атап айтқанда, егер екі жартылай қарапайым Ли алгебрасының тамыр жүйелері бірдей болса, олар изоморфты болады. Тамыр жүйесінің аксиоматикалық сипаты және Серре теоремасының салдары ретінде, барлық мүмкін тамыр жүйелерін санауға болады; демек, "барлық мүмкін" жартылай қарапайым Ли алгебраларын (нөлдік сипаттамасы бар алгебралық жабық өріс бойынша шексіз өлшемді) табуға болады. Вейль тобы – арқылы генерацияланған сызықтық түрлендірулер тобы. Вейль тобы мәселенің маңызды симметриясы болып табылады; мысалы, кез келген шексіз өлшемді бейнелеудің салмақтары Вейль тобы бойынша инвариантты болады.
The converse of this is also true: i. e., the Lie algebra generated by the generators and the relations like the above is a (finite dimensional) semisimple Lie algebra that has the root space decomposition as above (provided the is a Cartan matrix). This is a theorem of Serre. In particular, two semisimple Lie algebras are isomorphic if they have the same root system. The implication of the axiomatic nature of a root system and Serre's theorem is that one can enumerate all possible root systems; hence, "all possible" semisimple Lie algebras (finite dimensional over an algebraically closed field of characteristic zero). The Weyl group is the group of linear transformations of generated by the 's. The Weyl group is an important symmetry of the problem; for example, the weights of any finite dimensional representation of are invariant under the Weyl group.
Жартылай қарапайым Ли алгебраларының бейнелеу теориясы
Болсын, алгебралық жабық өріс бойынша (шектелген өлшемді) жартылай қарапайым Ли алгебрасы, нөлдік сипаттамасы бар. Онда, #Құрылымдағыдай, , мұнда – тамыр жүйесі. ; қарапайым тамырларды таңдаңыз. тамыры оң деп аталады және егер ол қарапайым тамырлардың теріс емес бүтін сандық коэффициенттерімен сызықтық комбинациясы болса, онда деп белгіленеді. –нің максималды шешілетін субалгебрасы, Борел субалгебрасы. V болсын (мүмкін шексіз өлшемді) қарапайым модуль. Егер V салмақтық векторға ие болса, онда ол масштабтауға дейін бірегей болады және V-нің ең жоғары салмақтық векторы деп аталады. Ол сондай-ақ салмақтық вектор болып табылады және –нің салмағы, –нің сызықтық функционалы, V-нің ең жоғары салмағы деп аталады. Негізгі, бірақ тривиальды емес фактілер: (1) кез келген сызықтық функционал үшін, оның ең жоғары салмағы бар қарапайым модуль болады және (2) ең жоғары салмағы бірдей екі қарапайым модуль эквивалентті болады. Қысқасы, және Борел салмақтық векторына ие қарапайым модульдердің эквиваленттілік кластары жиыны арасында биекция бар. Қолдану үшін көбінесе шектелген өлшемді қарапайым модульге (шектелген өлшемді азайтылмайтын өкілдікке) қызығушылық танытылады. Бұл әсіресе Lie тобының Lie алгебрасы (немесе оның кешенділенуі) болған кезде маңызды, өйткені Lie сәйкестігі арқылы Lie алгебрасының өкілдігі Lie тобының өкілдігіне интегралдануы мүмкін, егер кедергілер жеңілсе. Келесі критерий осы қажеттілікті қарастырады: оң Вейль камерасы арқылы біз дөңгелек конусты білдіреміз, мұнда – бірегей вектор, сондықтан критерий былай делінеді: егер және тек қана егер кез келген оң тамыр үшін (1) – бүтін сан болса және (2) , онда доминантты интегралдық салмақ деп аталады. Осылайша, қорытындылай келе, доминантты интегралдық салмақтар мен шектелген өлшемді қарапайым модульдердің эквиваленттілік кластары арасында биекция бар, бұл нәтиже ең жоғары салмақтың теоремасы деп белгілі. Шектелген өлшемді қарапайым модульдің сипаттамасы Вейль сипаттамалық формуласымен есептеледі. Вейльге байланысты теорема, нөлдік сипаттамасы бар өріс бойынша жартылай қарапайым Ли алгебрасының кез келген шектелген өлшемді модулі толығымен азайтылатынын айтады; яғни ол қарапайым модульдердің тікелей қосындысы болып табылады. Сондықтан, жоғарыда келтірілген нәтижелер жартылай қарапайым Ли алгебрасының шектелген өлшемді өкілдіктеріне қолданылады.
if and only if, for each positive root , (1) is an integer and (2) lies in A linear functional satisfying the above equivalent condition is called a dominant integral weight. Hence, in summary, there exists a bijection between the dominant integral weights and the equivalence classes of finite dimensional simple modules, the result known as the theorem of the highest weight. The character of a finite dimensional simple module in turns is computed by the Weyl character formula. The theorem due to Weyl says that, over a field of characteristic zero, every finite dimensional module of a semisimple Lie algebra is completely reducible; i. e., it is a direct sum of simple modules. Hence, the above results then apply to finite dimensional representations of a semisimple Lie algebra.
Нақты жартылай қарапайым Lie алгебрасы
Сипаттамасы нөлге тең, бірақ алгебралық жағынан жабық емес өріс үстіндегі жартылай қарапайым Лай алгебрасы үшін, алгебралық жағынан жабық, нөлдік сипаттамасы бар өрістердегідей жалпы құрылымдық теория жоқ. Бірақ нақты сандар өрісінде құрылымдық нәтижелер сақталады. -ті шекті өлшемді нақты жартылай қарапайым Лай алгебрасы деп, ал -ті оның комплекстеуі (қайтадан жартылай қарапайым) деп белгілейік. Нақты Лай алгебрасы -ның нақты түрі деп аталады. Егер оның Киллинг формасы теріс анықталған болса, онда ол нақты түр компактты болады; ол міндетті түрде компактты Лай тобының Лай алгебрасы болып табылады (сондықтан осылай аталады).
Компактты корпус
Көз алдыңызға компакт форма және максималды абельдік субкеңістік келсін. Оның құрамында қисайған Гермит матрицаларынан тұратынын, олар жорамал айырық мәндері арқылы диагональға келтіріледі (мысалы, Lie тобының Lie алгебрасы болғандықтан) көрсетуге болады. Сондықтан, бұл Картан субгебрасы болып табылады және тамыр кеңістігінің ыдырауы пайда болады (қ. #Құрылым).
Мұнда әрқайсысы нақты мәнді ; демек, нақты векторлық кеңістіктегі нақты сызықтық функционалмен сәйкестендірілуі мүмкін. Мысалы, барлық диагональ матрицалардың субкеңістігін қарастырайық және оны алайық. Ескерту: -ны арқылы берілген сызықтық функционал деп белгілейік. Содан кейін, әр үшін,
For example, let and take the subspace of all diagonal matrices. Note Let be the linear functional on given by for Then for each ,
мұнда - бұл бағанасында 1 және қалғандары 0 болатын матрица. Осылайша, әрбір тамыр мынадай формада болады және тамыр кеңістігінің ыдырауы матрицалардың ыдырауы болып табылады:
Жалпылау
Жартылай қарапайым Ли алгебралары белгілі бір жалпылауларды қабылдайды. Біріншіден, жартылай қарапайым Ли алгебралары үшін дұрыс көптеген тұжырымдар, жалпы алғанда, редуктивті Ли алгебралары үшін де дұрыс. Абстрактілі түрде, редуктивті Ли алгебрасы – оның қосымша өрнектелуі толығымен қысқартылатын алгебра, ал нақты түрде редуктивті Ли алгебрасы – жартылай қарапайым Ли алгебрасы мен абельдік Ли алгебрасының тікелей қосындысы; мысалы, жартылай қарапайым, ал – редуктивті. Жартылай қарапайым Ли алгебраларының көптеген қасиеттері тек қысқартылуға байланысты. Күрделі жартылай қарапайым/редуктивті Ли алгебраларының көптеген қасиеттері тек алгебралық жабық өрістердегі жартылай қарапайым/редуктивті Ли алгебралары үшін ғана емес, сонымен қатар басқа өрістердегі бөлінген жартылай қарапайым/редуктивті Ли алгебралары үшін де дұрыс: алгебралық жабық өрістердегі жартылай қарапайым/редуктивті Ли алгебралары әрқашан бөлінген, бірақ басқа өрістерде бұл міндетті емес. Бөлінген Ли алгебралары негізінен алгебралық жабық өрістердегі жартылай қарапайым Ли алгебраларымен бірдей өрнектелу теориясына ие, мысалы, бөлінген Картан субальгебрасы алгебралық жабық өрістердегі Картан субальгебрасымен бірдей рөл атқарады. Бұл, мысалы, бөлінген жартылай қарапайым/редуктивті Ли алгебраларының өрнектелулерін жіктеуге арналған әдіс.
Жартылай қарапайым және редуктивті топтар
Байланысты Лай тобы, егер оның Лай алгебрасы жартылай қарапайым Лай алгебрасы болса, жартылай қарапайым деп аталады, яғни қарапайым Лай алгебраларының тікелей қосындысы. Егер оның Лай алгебрасы қарапайым және тривиальды (бір өлшемді) Лай алгебраларының тікелей қосындысы болса, онда ол редуктивті деп аталады. Редуктивті топтар алгебра, геометрия және физика салаларындағы көптеген математикалық объектілердің симметриялары ретінде табиғи түрде кездеседі. Мысалы, n өлшемді нақты векторлық кеңістіктің симметриялар тобы (немесе инвертирленетін матрицалар тобы) редуктивті болып табылады.