Прямые суммы простых алгебр Ли

Введение

Прямая сумма простых алгебр Ли

В математике алгебра Ли называется полупростой, если она является прямой суммой простых алгебр Ли. (Простая алгебра Ли — это неабелева алгебра Ли, не имеющая ненулевых собственных идеалов.) На протяжении всей статьи, если не оговорено иное, алгебра Ли рассматривается как конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Для такой алгебры Ли, если она ненулевая, следующие условия эквивалентны:
она полупроста;
форма Киллинга, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), является невырожденной;
не имеет ненулевых абелевых идеалов;
не имеет ненулевых разрешимых идеалов;
радикал (максимальный разрешимый идеал) равен нулю.

Значение

Значение полупростоты обусловлено, прежде всего, разложением Леви, которое утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимого идеала (её радикала) и полупростой алгебры. В частности, не существует ненулевой алгебры Ли, которая была бы одновременно разрешимой и полупростой. Полупростые алгебры Ли обладают очень элегантной классификацией, в отличие от разрешимых алгебр Ли. Полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль полностью классифицируются по их корневой системе, которая, в свою очередь, классифицируется диаграммами Динкина. Полупростые алгебры над неалгебраически замкнутыми полями можно изучать в терминах алгебраического замыкания, хотя классификация несколько сложнее; см. раздел о вещественных формах для случая вещественных полупростых алгебр Ли, которые были классифицированы Эли Картаном. Более того, теория представлений полупростых алгебр Ли значительно проще, чем для общих алгебр Ли. Например, разложение Жордана в полупростой алгебре Ли совпадает с разложением Жордана в её представлении; это неверно для алгебр Ли в общем случае. Если является полупростой, то, в частности, каждая линейная полупростая алгебра Ли является подалгеброй , специальной линейной алгебры Ли. Изучение структуры составляет важную часть теории представлений полупростых алгебр Ли.

История

Полупростые алгебры Ли над комплексными числами были впервые классифицированы Вильгельмом Киллингом (1888–90), хотя его доказательство не отличалось строгостью. Эли Картан сделал это доказательство строгим в своей докторской диссертации (1894) и также классифицировал полупростые вещественные алгебры Ли. Позднее эта классификация была уточнена, а современная классификация с использованием диаграмм Динкина была предложена Евгением Динкиным в 1947 году, когда ему было 22 года. В неё были внесены некоторые незначительные поправки (в частности, Ж.-П. Серром), но доказательство в своей основе осталось неизменным и приводится в любом стандартном учебнике, например, .

Основные свойства

Каждый идеал, фактор и произведение полупростых алгебр Ли снова полупросты. Центр полупростой алгебры Ли тривиален (поскольку центр является абелевым идеалом). Иными словами, сопряжённое представление инъективно. Более того, образ оказывается пространством производных на , следовательно, является изоморфизмом. (Это частный случай леммы Уайтхеда.) Поскольку сопряжённое представление инъективно, полупростая алгебра Ли является линейной алгеброй Ли относительно сопряжённого представления. Это может приводить к некоторой неоднозначности, так как каждая алгебра Ли уже линейна относительно некоторого другого векторного пространства (теорема Адо), хотя и не обязательно посредством сопряжённого представления. Но на практике такая неоднозначность редко возникает. Если – полупростая алгебра Ли, то (потому что полупроста и абелева). Конечномерная алгебра Ли над полем k характеристики ноль полупроста тогда и только тогда, когда расширение базы полупроста для каждого расширения поля. Таким образом, например, конечномерная вещественная алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда её комплексификация полупроста.

Структура

Пусть – (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль. Структура может быть описана сопряжённым действием некоторой выделенной субальгебры на ней, субальгебры Картана. По определению, субальгебра Картана (также называемая максимальной торальной субальгеброй) – это максимальная субальгебра такая, что для каждого элемент диагонализуем. Как оказывается, абелева, и, следовательно, все операторы в одновременно диагонализуемы. Для каждого линейного функционала из , обозначим (отметим, что – централизатор ). Тогда

Let be a (finite dimensional) semisimple Lie algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. The structure of can be described by an adjoint action of a certain distinguished subalgebra on it, a Cartan subalgebra. By definition, a Cartan subalgebra (also called a maximal toral subalgebra) of is a maximal subalgebra such that, for each , is diagonalizable. As it turns out, is abelian and so all the operators in are simultaneously diagonalizable. For each linear functional of , let (Note that is the centralizer of .) Then

(The most difficult item to show is The standard proofs all use some facts in the representation theory of ; e. g., Serre uses the fact that an module with a primitive element of negative weight is infinite dimensional, contradicting .) Let with the commutation relations ; i. e., the correspond to the standard basis of
The linear functionals in are called the roots of relative to The roots span (since if , then is the zero operator; i. e., is in the center, which is zero.) Moreover, from the representation theory of , one deduces the following symmetry and integral properties of : for each ,

Note that has the properties (1) and (2) the fixed point set is , which means that is the reflection with respect to the hyperplane corresponding to The above then says that is a root system. It follows from the general theory of a root system that contains a basis of such that each root is a linear combination of with integer coefficients of the same sign; the roots are called simple roots. Let , etc. Then the elements (called Chevalley generators) generate as a Lie algebra. Moreover, they satisfy the relations (called Serre relations): with ,
The converse of this is also true: i. e., the Lie algebra generated by the generators and the relations like the above is a (finite dimensional) semisimple Lie algebra that has the root space decomposition as above (provided the is a Cartan matrix). This is a theorem of Serre. In particular, two semisimple Lie algebras are isomorphic if they have the same root system. The implication of the axiomatic nature of a root system and Serre's theorem is that one can enumerate all possible root systems; hence, "all possible" semisimple Lie algebras (finite dimensional over an algebraically closed field of characteristic zero). The Weyl group is the group of linear transformations of generated by the 's. The Weyl group is an important symmetry of the problem; for example, the weights of any finite dimensional representation of are invariant under the Weyl group.

(Наиболее сложным моментом для доказательства является . Стандартные доказательства используют некоторые факты из теории представлений ; например, Серр использует тот факт, что -модуль с примитивным элементом отрицательного веса бесконечномерен, что противоречит ). Пусть с коммутационными соотношениями ; то есть соответствуют стандартному базису . Линейные функционалы в называются корнями относительно . Корни порождают (поскольку если , то – нулевой оператор; то есть лежит в центре, который равен нулю). Более того, из теории представлений следуют следующие свойства симметрии и интегрируемости : для каждого , заметим, что имеет свойства (1) и (2) неподвижная точка множества – это , что означает, что – отражение относительно гиперплоскости, соответствующей . Вышесказанное означает, что – корневая система. Из общей теории корневых систем следует, что содержит базис такой, что каждый корень является линейной комбинацией с целочисленными коэффициентами одного знака; корни называются простыми корнями. Пусть , и т.д. Тогда элементы (называемые генераторами Шевалье) порождают как алгебру Ли. Более того, они удовлетворяют соотношениям (называемым соотношениями Серра): с , . Обратное также верно: то есть алгебра Ли, порожденная генераторами и указанными выше соотношениями, является (конечномерной) полупростой алгеброй Ли, имеющей корневое пространство расщепления, как указано выше (при условии, что – матрица Картана). Это теорема Серра. В частности, две полупростые алгебры Ли изоморфны, если у них одна и та же корневая система. Следствием аксиоматической природы корневой системы и теоремы Серра является возможность перечислить все возможные корневые системы, а следовательно, и "все возможные" полупростые алгебры Ли (конечномерные над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль). Группа Вейля – это группа линейных преобразований , порожденная элементами . Группа Вейля является важной симметрией задачи; например, веса любого конечномерного представления инвариантны относительно группы Вейля.

Теория представления полупростых алгебр Ли

Пусть будет (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль. Тогда, как в #Структура, где – корневая система. Выберем простые корни в ; корень называется положительным и обозначается , если он является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами. Пусть , являющаяся максимально разрешимой субалгеброй , субалгеброй Бореля. Пусть V – (возможно, бесконечномерный) простой модуль. Если V допускает вектор веса , то он единственен с точностью до масштабирования и называется вектором старшего веса V. Он также является вектором веса, и вес – линейный функционал – называется старшим весом V. Основные, но нетривиальные факты заключаются в следующем: (1) для каждого линейного функционала существует простой модуль, имеющий в качестве старшего веса, и (2) два простых модуля с одинаковым старшим весом эквивалентны. Короче говоря, существует биекция между и множеством классов эквивалентности простых модулей, допускающих вектор веса Бореля. Для приложений часто представляют интерес конечномерные простые модули (конечномерные неприводимые представления). Это особенно верно, когда является алгеброй Ли группы Ли (или ее комплексификацией), поскольку, посредством соответствия Ли, представление алгебры Ли можно интегрировать в представление группы Ли, когда препятствия преодолены. Следующий критерий отвечает этой потребности: под положительной камерой Вейля мы подразумеваем выпуклый конус , где – единственный вектор, такой что критерий тогда гласит: если и только если для каждого положительного корня , (1) является целым числом и (2) лежит в Линейный функционал, удовлетворяющий вышеуказанному эквивалентному условию, называется доминантным интегральным весом. Следовательно, вкратце, существует биекция между доминантными интегральными весами и классами эквивалентности конечномерных простых модулей, результат, известный как теорема о старшем весе. Характер конечномерного простого модуля, в свою очередь, вычисляется по формуле характера Вейля. Теорема Вейля утверждает, что над полем характеристики ноль каждый конечномерный модуль полупростой алгебры Ли полностью приводим; то есть, он является прямой суммой простых модулей. Следовательно, вышеуказанные результаты применимы к конечномерным представлениям полупростой алгебры Ли.

Let be a (finite dimensional) semisimple Lie algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. Then, as in #Structure, where is the root system. Choose the simple roots in ; a root of is then called positive and is denoted by if it is a linear combination of the simple roots with non negative integer coefficients. Let , which is a maximal solvable subalgebra of , the Borel subalgebra. Let V be a (possibly infinite dimensional) simple module. If V happens to admit a weight vector , then it is unique up to scaling and is called the highest weight vector of V. It is also an weight vector and the weight of , a linear functional of , is called the highest weight of V. The basic yet nontrivial facts then are (1) to each linear functional , there exists a simple module having as its highest weight and (2) two simple modules having the same highest weight are equivalent. In short, there exists a bijection between and the set of the equivalence classes of simple modules admitting a Borel weight vector. For applications, one is often interested in a finite dimensional simple module (a finite dimensional irreducible representation). This is especially the case when is the Lie algebra of a Lie group (or complexification of such), since, via the Lie correspondence, a Lie algebra representation can be integrated to a Lie group representation when the obstructions are overcome. The next criterion then addresses this need: by the positive Weyl chamber , we mean the convex cone where is a unique vector such that The criterion then reads:
if and only if, for each positive root , (1) is an integer and (2) lies in A linear functional satisfying the above equivalent condition is called a dominant integral weight. Hence, in summary, there exists a bijection between the dominant integral weights and the equivalence classes of finite dimensional simple modules, the result known as the theorem of the highest weight. The character of a finite dimensional simple module in turns is computed by the Weyl character formula. The theorem due to Weyl says that, over a field of characteristic zero, every finite dimensional module of a semisimple Lie algebra is completely reducible; i. e., it is a direct sum of simple modules. Hence, the above results then apply to finite dimensional representations of a semisimple Lie algebra.

Реальная полупростая алгебра лжи

Для полупростой алгебры Ли над полем характеристики ноль, не являющимся алгебраически замкнутым, не существует общей теории структуры, подобной той, что существует для алгебраически замкнутых полей характеристики ноль. Однако над полем вещественных чисел существуют результаты о структуре. Пусть – конечномерная вещественная полупростая алгебра Ли, а – её комплексификация (которая также является полупростой). Вещественная алгебра Ли называется вещественной формой. Вещественная форма называется компактной, если форма Киллинга на ней отрицательно определена; она обязательно является алгеброй Ли компактной группы Ли (отсюда и название).

Комплектный чехол

Предположим, что является компактной формой, а — максимальным абелевым подпространством. Можно показать (например, из того факта, что является алгеброй Ли компактной группы Ли), что состоит из косоэрмитовых матриц, диагонализируемых над с мнимыми собственными значениями. Следовательно, является картанской субалгеброй, и в результате получается разложение по корневым пространствам (см. #Структура), где каждый является вещественнозначным на ; таким образом, можно отождествить с вещественным линейным функционалом на вещественном векторном пространстве. Например, пусть и возьмем подпространство всех диагональных матриц. Замечание: пусть будет линейным функционалом на , заданным как для Тогда для каждого , где — матрица, у которой 1 стоит на -й позиции, а в остальных местах — нули. Следовательно, каждый корень имеет вид , а разложение по корневым пространствам является разложением матриц:

Обобщения

Полупростые алгебры Ли допускают определенные обобщения. Во-первых, многие утверждения, верные для полупростых алгебр Ли, верны и для редуктивных алгебр Ли в более общем случае. Абстрактно, редуктивная алгебра Ли – это алгебра, чье сопряженное представление полностью приводимо, а конкретно – прямая сумма полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли; например, является полупростой, а – редуктивной. Многие свойства полупростых алгебр Ли зависят лишь от приводимости. Многие свойства комплексных полупростых/редуктивных алгебр Ли справедливы не только для полупростых/редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями, но и в более общем случае для расщепленных полупростых/редуктивных алгебр Ли над другими полями: полупростые/редуктивные алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями всегда расщеплены, но над другими полями это не всегда так. Расщепленные алгебры Ли по существу имеют ту же теорию представлений, что и полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями, например, расщепляющаяся субальгебра Картана играет ту же роль, что и субальгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Такой подход используется, например, в , который классифицирует представления расщепленных полупростых/редуктивных алгебр Ли.

Полупростые и редуктивные группы

Соединенная группа Ли называется полупростой, если её алгебра Ли является полупростой алгеброй Ли, то есть прямой суммой простых алгебр Ли. Она называется редуктивной, если её алгебра Ли является прямой суммой простых и тривиальных (одномерных) алгебр Ли. Редуктивные группы возникают естественным образом как симметрии различных математических объектов в алгебре, геометрии и физике. Например, группа симметрий n-мерного вещественного векторного пространства (эквивалентно, группа обратимых матриц) является редуктивной.