Кіріспе

[[Банах кеңістігі

Өлшемдер теориясының математикалық саласында Банах өлшемі – Евклид жазықтығының барлық ішкі жиындарына өлшемді (немесе ауданы) тағайындаудың белгілі бір тәсілі болып табылады, ол кеңінен қолданылатын Лебег өлшемімен үйлесімді, бірақ оны кеңейтеді. Жазықтықтың кейбір ішкі жиындары Лебег өлшенбейтін болса да, жазықтықтың барлық ішкі жиындары Банах өлшеміне ие. Екінші жағынан, Лебег өлшемі саналатын қосымдылыққа ие, ал Банах өлшемі тек шекті қосымдылыққа ие (сондықтан ол "мазмұн" деп аталады). Стефан Банах 1923 жылы Банах өлшемдерінің бар екенін дәлелдеді. Бұл, әсіресе, Евклид кеңістігіндегі R3 Банах-Тарски парадоксымен ұсынылған парадоксалды ыдыраулар Евклид жазықтығында R2-де болуы мүмкін емес екенін көрсетті.

Қасиеттері

μ-нің шекті қосылу қасиеті, кез келген жұптық бөлек жиындар үшін және екенін білдіреді. Сондай-ақ, егер болса, онда болады. μ Лебег өлшемін кеңейтетіндіктен, A жиыны шекті немесе санаулы болғанда екенін, ал интервалдардың кез келген көбейтіндісі үшін екенін білеміз. μ изометриялар бойынша инвариантты болғандықтан, ол әсіресе айналулар мен жылжулар бойынша да инвариантты болады.

Нәтижелер

Стефан Банах R1 және R2 бойынша Банах өлшемдерінің бар екенін көрсетті. Бұл нәтижелер R1 және R2 изометриялар тобының шешілетін болуымен байланысты туындайды. Бұл өлшемдердің болуы Банах-Тарски парадоксының бір немесе екі өлшемде мүмкін еместігін дәлелдейді: шекті Лебег өлшемі бар бір немесе екі өлшемді жиынтықты шекті көп жиынтыққа бөлу және оларды әртүрлі Лебег өлшемі бар жиынтыққа қайта құрастыру мүмкін емес, себебі бұл Лебег өлшемін кеңейтетін Банах өлшемінің қасиеттерін бұзушы еді. Керісінше, Банах-Тарски парадоксының барлық n ≥ 3 өлшемдерде болуы осы өлшемдерде Банах өлшемінің болуы мүмкін емес екенін көрсетеді. Витали парадоксы көрсеткендей, Банах өлшемдерін санаулы қосымды өлшемдерге күшейтуге болмайды: барлық n ≥ 1 үшін Лебег өлшенбейтін Rn жиынтықтары бар. Бұл нәтижелердің көпшілігі таңдау аксиомасының кейбір түріне байланысты. Тек Зермело-Френкельдің жиын теориясының аксиомаларын, таңдау аксиомасынсыз қолданып, Банах-Тарски парадоксын туындатуға болмайды, сондай-ақ Лебег өлшенбейтін жиындардың бар екенін дәлелдеуге болмайды (соңғы талап қолжетімсіз кардиналдардың бар екендігіне қатысты, салыстырмалы түрде әлсіз және кеңінен қабылданған болжамға байланысты). R1 және R2 бойынша Банах өлшемдерінің болуын да таңдау аксиомасы болмаған жағдайда дәлелдеу мүмкін емес. Атап айтқанда, осы Банах өлшемдері үшін нақты формула беруге болмайды.