Введение

Пространство Банаха

В математической дисциплине теории меры, мера Банаха — это определенный способ присвоения размера (или площади) всем подмножествам евклидовой плоскости, согласованный с, но расширяющий обычно используемую меру Лебега. В то время как существуют определенные подмножества плоскости, которые не измеримы по Лебегу, все подмножества плоскости имеют меру Банаха. С другой стороны, мера Лебега является счетно-аддитивной, а мера Банаха — только конечно-аддитивной (и поэтому известна как "содержание"). Стефан Банах доказал существование мер Банаха в 1923 году. Это установило, в частности, что парадоксальные разложения, подобные тем, что даёт парадокс Банаха — Тарского в евклидовом пространстве R3, не могут существовать в евклидовой плоскости R2.

Свойства

Конечная аддитивность меры μ влечет за собой, что μ(∅) = 0 и μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) для любых парно непересекающихся множеств A и B. Также, μ(A) = 0, если A – множество меры ноль. Поскольку μ является расширением меры Лебега, мы знаем, что μ(A) = 0, если A – конечное или счетное множество, и что μ(ΠIₙ) = 0 для любого произведения интервалов. Поскольку μ инвариантна относительно изометрий, она, в частности, инвариантна относительно вращений и сдвигов.

Результаты

Стефан Банах показал, что меры Банаха существуют на R1 и R2. Эти результаты вытекают из того факта, что группы изометрий R1 и R2 являются разрешимыми. Существование этих мер доказывает невозможность парадокса Банаха — Тарского в одном или двух измерениях: невозможно разложить одномерное или двумерное множество конечной меры Лебега на конечное число множеств, которые можно собрать заново в множество с другой мерой Лебега, поскольку это противоречило бы свойствам меры Банаха, расширяющей меру Лебега. И наоборот, существование парадокса Банаха — Тарского во всех измерениях n ≥ 3 показывает, что в этих измерениях мера Банаха не может существовать. Как показывает парадокс Витали, меры Банаха нельзя усилить до счетно-аддитивных: существуют подмножества Rn, которые не измеримы по Лебегу для всех n ≥ 1. Большинство этих результатов зависят от той или иной формы аксиомы выбора. Используя только аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора, невозможно вывести парадокс Банаха — Тарского, равно как и доказать существование множеств, не измеримых по Лебегу (последнее утверждение опирается на довольно слабое и общепринятое предположение, а именно, что существование недоступных кардиналов непротиворечиво). Существование мер Банаха на R1 и R2 также нельзя доказать без аксиомы выбора. В частности, не существует явной формулы для этих мер Банаха.