Кіріспе
Лай бейнелеу теориясындағы теорема. Математиканың бір саласы – бейнелеу теориясында Энгель теоремасы былай гласиды: шекті өлшемді Лай алгебрасы, егер және тек қана әрбір үшін, мына түрде берілген жанама бейнелеу:
In representation theory, a branch of mathematics, Engel's theorem states that a finite dimensional Lie algebra is a nilpotent Lie algebra if and only if for each , the adjoint map
, нөлдік эндоморфизм болса, онда ол нөлдік алгебра болып табылады, яғни, белгілі бір k үшін . Бұл теореманың салдары болып табылады, сонымен қатар Энгель теоремасы деп аталады, ол мынаны айтады: егер матрицалардың Лай алгебрасы нөлдік матрицалардан тұрса, онда осы матрицалардың бәрін бір мезгілде қатаң жоғарғы үшбұрыштық түрге келтіруге болады. Егер бізде тек Лай алгебрасы ретінде нөлдік Лай алгебрасы болса, онда бұл қорытындыға келмейді (яғни, Лай теоремасындағы "шешілетін" сөзін "нөлдік" сөзімен, ал "жоғарғы үшбұрыштық" сөзін "қатаң жоғарғы үшбұрыштық" сөзімен алмастыру наивті және жалған; бұл тіпті скалярлық матрицалардың бір өлшемді Лай субальгебрасы үшін де орындалмайды). Теорема математик Фридрих Энгельдің есімімен аталады, ол 1890 жылғы 20 шілдеде Вильгельм Киллингке жазған хатында оның дәлелінің сызбасын келтірген. Энгельдің шәкірті К. А. Умлауф 1891 жылы өзінің диссертациясында толық дәлел берді.
Дәлел
Теореманың келесі түрін дәлелдейміз: егер – Lie субальгебрасы болса және әрбір – нильпотентті эндоморфизм болса, және егер V оң өлшемді болса, онда V-де нөлдік емес v векторы бар, онда әрбір үшін орындалады. Дәлел өлшемі бойынша индукция арқылы жүргізіледі және бірнеше қадамнан тұрады. (Ескерту: дәлелдің құрылымы шешілетін алгебраға қатысты Lie теоремасының дәлеліне өте ұқсас.) Бастапқы жағдай тривиальды, және өлшемінің оң екенін қабылдаймыз. 1-қадам: ішінде бір өлшемдегі кодименсияға ие идеалды табу. Бұл ең қиын қадам. – максималды (тиісті) субальгебрасы болсын, ол шекті өлшемділігіне байланысты бар. Біз оның бір өлшемдегі кодименсияға ие идеал екенін дәлелдейміз. Кез келген үшін, (1) сызықтық эндоморфизмді тудырады және (2) осы туындаған бейнелеу нильпотентті (іс жүзінде, – нильпотентті, өйткені – нильпотентті; Lie алгебраларындағы Жорданның ыдырауын қараңыз) екенін тексеру оңай. Осылайша, субальгебрасына қолданылатын индукциялық гипотеза бойынша, ішінде нөлдік емес v векторы бар, онда әрбір үшін орындалады. Яғни, егер бір үшін, бірақ ішінде болмаса, онда әрбір үшін орындалады. Онда және Y кеңістігімен құрылған подкеңістік – ішінде бір өлшемдегі кодименсияға ие идеал болатын Lie субальгебрасы болады. Сондықтан, максималдылық бойынша, бұл талап дәлелденеді. 2-қадам: болсын. Онда W-ны тұрақтандырады; яғни, әрбір үшін орындалады. Шындығында, ішіндегі және ішіндегі үшін, болады, өйткені – идеал және сондықтан – демек, W-да жатыр. 3-қадам: Дәлелді аяқтау үшін өлтіретін нөлдік емес векторды табу. деп жазайық, мұнда L – бір өлшемді векторлық подкеңістік. Y – L-дегі нөлдік емес вектор, ал v – W-дегі нөлдік емес вектор болсын. Енді – нильпотентті эндоморфизм (гипотеза бойынша), сондықтан кейбір k үшін орындалады. Онда қажетті вектор болады, өйткені 2-қадам бойынша вектор W-да жатыр.
The proof is by induction on the dimension of and consists of a few steps. (Note the structure of the proof is very similar to that for Lie's theorem, which concerns a solvable algebra.) The basic case is trivial and we assume the dimension of is positive. Step 1: Find an ideal of codimension one in
This is the most difficult step. Let be a maximal (proper) subalgebra of , which exists by finite dimensionality. We claim it is an ideal of codimension one. For each , it is easy to check that (1) induces a linear endomorphism and (2) this induced map is nilpotent (in fact, is nilpotent as is nilpotent; see Jordan decomposition in Lie algebras). Thus, by inductive hypothesis applied to the Lie subalgebra of generated by , there exists a nonzero vector v in such that for each That is to say, if for some Y in but not in , then for every But then the subspace spanned by and Y is a Lie subalgebra in which is an ideal of codimension one. Hence, by maximality, This proves the claim. Step 2: Let Then stabilizes W; i. e., for each
Indeed, for in and in , we have: since is an ideal and so Thus, is in W.
Step 3: Finish up the proof by finding a nonzero vector that gets killed by
Write where L is a one dimensional vector subspace. Let Y be a nonzero vector in L and v a nonzero vector in W. Now, is a nilpotent endomorphism (by hypothesis) and so for some k. Then is a required vector as the vector lies in W by Step 2.