Введение
Теорема в теории представлений
В теории представлений, области математики, теорема Энгеля утверждает, что конечномерная алгебра Ли является нильпотентной алгеброй Ли тогда и только тогда, когда для каждого элемента , сопряжённое отображение, заданное формулой , является нильпотентным эндоморфизмом на ; то есть, для некоторого k. Это является следствием теоремы, также называемой теоремой Энгеля, которая гласит, что если алгебра Ли матриц состоит из нильпотентных матриц, то все матрицы могут быть одновременно приведены к строго верхнетреугольному виду. Следует отметить, что если у нас есть лишь алгебра матриц Ли, которая нильпотентна как алгебра Ли, то этот вывод неверен (то есть, наивная замена в теореме Ли понятия "разрешимая" на "нилпотентная" и "верхнетреугольная" на "строго верхнетреугольная" является ошибочной; это уже не выполняется для одномерной подалгебры Ли скалярных матриц). Теорема названа в честь математика Фридриха Энгеля, который набросал доказательство в письме Вильгельму Киллингу от 20 июля 1890 года. Ученик Энгеля, К. А. Умлауф, представил полное доказательство в своей диссертации 1891 года, переизданной в виде .
In representation theory, a branch of mathematics, Engel's theorem states that a finite dimensional Lie algebra is a nilpotent Lie algebra if and only if for each , the adjoint map
given by , is a nilpotent endomorphism on ; i. e., for some k. It is a consequence of the theorem, also called Engel's theorem, which says that if a Lie algebra of matrices consists of nilpotent matrices, then the matrices can all be simultaneously brought to a strictly upper triangular form. Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent as a Lie algebra, then this conclusion does not follow (i. e. the naïve replacement in Lie's theorem of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one dimensional Lie subalgebra of scalar matrices). The theorem is named after the mathematician Friedrich Engel, who sketched a proof of it in a letter to Wilhelm Killing dated 20 July 1890 Engel's student K. A. Umlauf gave a complete proof in his 1891 dissertation, reprinted as .
Доказательство
Мы доказываем следующую форму теоремы: если – субагебра Ли, такая, что каждый является нильпотентным эндоморфизмом, и если V имеет положительную размерность, то в V существует ненулевой вектор v, такой, что для каждого X из . Доказательство проводится индукцией по размерности и состоит из нескольких шагов. (Обратите внимание, что структура доказательства очень похожа на структуру доказательства теоремы Ли, касающейся разрешимой алгебры.) Базовый случай тривиален, и мы предполагаем, что размерность положительна. Шаг 1: Найти идеал кодименсионности один в . Это самый сложный шаг. Пусть – максимальная (собственная) субагебра , которая существует в силу ее конечной размерности. Утверждаем, что это идеал кодименсионности один. Для каждого легко проверить, что (1) индуцирует линейный эндоморфизм и (2) эта индуцированная карта нильпотентна (на самом деле, нильпотентна, так как нильпотентна; см. разложение Жордана в алгебрах Ли). Таким образом, по индуктивной гипотезе, примененной к субагебре Ли, порожденной , существует ненулевой вектор v в такой, что для каждого . То есть, если для некоторого Y из , но не из , то для каждого . Тогда подпространство , порожденное и Y, является субагеброй Ли, в которой является идеалом кодименсионности один. Следовательно, по максимальности, это доказывает утверждение. Шаг 2: Пусть . Тогда стабилизирует W, то есть для каждого . Действительно, для из и из , имеем: поскольку является идеалом и, следовательно, . Таким образом, лежит в W.
The proof is by induction on the dimension of and consists of a few steps. (Note the structure of the proof is very similar to that for Lie's theorem, which concerns a solvable algebra.) The basic case is trivial and we assume the dimension of is positive. Step 1: Find an ideal of codimension one in
This is the most difficult step. Let be a maximal (proper) subalgebra of , which exists by finite dimensionality. We claim it is an ideal of codimension one. For each , it is easy to check that (1) induces a linear endomorphism and (2) this induced map is nilpotent (in fact, is nilpotent as is nilpotent; see Jordan decomposition in Lie algebras). Thus, by inductive hypothesis applied to the Lie subalgebra of generated by , there exists a nonzero vector v in such that for each That is to say, if for some Y in but not in , then for every But then the subspace spanned by and Y is a Lie subalgebra in which is an ideal of codimension one. Hence, by maximality, This proves the claim. Step 2: Let Then stabilizes W; i. e., for each
Indeed, for in and in , we have: since is an ideal and so Thus, is in W.
Шаг 3: Завершим доказательство, найдя ненулевой вектор, который аннулируется . Запишем где L – одномерное векторное подпространство. Пусть Y – ненулевой вектор в L, а v – ненулевой вектор в W. Теперь является нильпотентным эндоморфизмом (по гипотезе), и поэтому для некоторого k. Тогда является искомым вектором, поскольку этот вектор лежит в W (по шагу 2).
Write where L is a one dimensional vector subspace. Let Y be a nonzero vector in L and v a nonzero vector in W. Now, is a nilpotent endomorphism (by hypothesis) and so for some k. Then is a required vector as the vector lies in W by Step 2.