Кіріспе
Математикалық логика тұжырымдамасы
Математикалық логика мен философияда Сколемнің парадоксы – төменгі Löwenheim–Skolem теоремасынан туындайтын көрінетін қарама-қайшылық. Торальф Сколем (1922) теореманың қарама-қайшылықты көрінетін аспектілерін бірінші болып талқылады және қазір абсолюттілік емес деп аталатын жиын теориялық ұғымдардың салыстырмалылығын ашты. Расселлдің парадоксы сияқты нақты антиномия болмаса да, нәтиже әдетте парадокс деп аталады және Сколем (1922: 295 б.) оны «парадоксалды жағдай» деп сипаттады. Сколемнің парадоксы – жиын теориясының бірінші реттік логикадағы әрбір саналатын аксиоматизациясы, егер ол дұрыс болса, саналатын модельге ие. Бұл қарама-қайшылықты болып көрінеді, себебі сол аксиомалардан интуитивті түрде (немесе теорияның стандартты моделінде дәл айтылғандай) санауға болмайтын жиындар бар екенін көрсететін сөйлемді дәлелдеу мүмкін. Осылайша, көрінетін қарама-қайшылық – модельдің өзі саналатын, сондықтан тек саналатын жиындарды қамтиды, бірақ ол бірінші реттік сөйлемді қанағаттандырады, ол интуитивті түрде «санауға болмайтын жиындар бар» деп мәлімдейді. Парадоксқа математикалық түсіндірме, оның математикада қарама-қайшылық емес екенін көрсететін, Сколем (1922) берді. Школемнің жұмысын бірінші реттік логиканың шектеулеріне қарсы пікір білдірген Эрнст Зермело қатаң қабылдады, бірақ нәтиже математикалық қауымдастықпен тез қабылданды. Сколемнің парадоксының философиялық салдары кеңінен зерттелді. Бір зерттеу бағыты кез келген бірінші реттік сөйлемде «санауға болмайтын жиындар бар» деп айтудың дұрыстығына күмән келтіреді. Бұл ойды кез келген жиынның абсолютті мағынада санауға болмайтындығын сұрауға дейін кеңейтуге болады. Соңғы уақытта Хилари Путнамның «Модельдер және шындық» атты мақаласы және оған жауаптар Сколемнің нәтижесінің философиялық аспектілеріне қызығушылықты қайта оятуға әкелді.
Өмірбаян
Жинақтар теориясының ең алғашқы нәтижелерінің бірі, 1874 жылы Георг Кантор жариялаған, санаусыз жиынтардың болуы еді, мысалы, натурал сандардың қуаты жиыны, нақты сандар жиыны және Кантор жиыны. Кез келген Х шексіз жиыны, егер Х пен натурал сандар арасында бірін-біріне сәйкес келетін функция болса, саналатын болады, ал мұндай сәйкестік функциясы болмаса, санаусыз болады. Зермело 1908 жылы жинақтар теориясы үшін аксиомаларын ұсынғанда, олардың күшін көрсету үшін Кантор теоремасын дәлелдеді. Ловенхайм (1915) және Сколем (1920, 1923) Ловенхайм-Сколем теоремасын дәлелдеді. Бұл теореманың төмен бағытталған түрі, егер саналатын бірінші реттік аксиоматизация кез келген шексіз құрылымды қанағаттандырса, онда сол аксиомалар саналатын құрылымды да қанағаттандырады. Атап айтқанда, бұл Зермелоның жинақтар теориясы аксиомаларының бірінші реттік нұсқалары қанағаттандырылатын болса, олар кейбір саналатын модельде қанағаттандырылатынын білдіреді. Бұл жинақтар теориясының кез келген дәйекті бірінші реттік аксиоматизациясы үшін де сәйкес келеді.
Математикалық қауымдастықтың қабылдауы
Жинақ теориясының алғашқы зерттеулерінің басты мақсаты – жинақ теориясының бірінші реттік аксиоматизациясын табу болды, ол категорикалық болар еді, яғни аксиомалардың барлық жинақтардан тұратын жалғыз ғана моделі болар еді. Сколемнің нәтижесі мұның мүмкін емес екенін көрсетті, бұл математиканың негізі ретінде жинақ теориясын пайдалануға күмән тудырды. Бірінші реттік логика теориясының жетілуіне және математиктерге Сколемнің нәтижесінің себебін түсінуге біраз уақыт кетті; 1920 жылдары парадокстың шешімі кеңінен қабылданбады. Френкель (1928) бұл нәтижені әлі де антиномия деп сипаттады: «Антиномия туралы кітаптар әлі жабылмаған, оның маңызы мен мүмкін шешімі туралы келісімге әлі қол жеткізілмеген». (van Dalen және Ebbinghaus, 2000, 147-бет). 1925 жылы фон Нейман жинақ теориясының жаңа аксиоматизациясын ұсынды, ол NBG жинақ теориясына айналды. 1922 жылғы Сколемнің мақаласын жақсы білген фон Нейман аксиомаларының саналатын модельдерін егжей-тегжейлі зерттеді. Қорытынды сөзінде фон Нейман жинақ теориясының немесе шексіз модельді кез келген басқа теорияның категорикалық аксиоматизациясы жоқ екенін түсіндірді. Сколемнің парадоксының әсері туралы ол былай деп жазды: «Қазіргі уақытта біз бұл теорияға қатысты күмәнді ойларға тағы бір себеп бар екенін және бұл теорияны қалпына келтірудің ешқандай жолы жоқ екенін айта аламыз». (Ebbinghaus және van Dalen, 2000, 148-бет). Зермело бастапқыда Сколемнің парадоксын әдеміссіздік деп санады (van Dalen және Ebbinghaus, 2000, 148-бет және одан кейінгілер) және 1929 жылдан бастап оған қарсы сөйледі. Сколемнің нәтижесі қазір бірінші реттік логика деп аталатын нәрсеге ғана қатысты, бірақ Зермело бірінші реттік логиканың негізі болып табылатын шекті метаматематикаға қарсы шықты (Kanamori 2004, 519-бет және одан кейінгілер). Зермело өз аксиомаларын екінші реттік логикада зерттеу керек деп, онда Сколемнің нәтижесі қолданылмайды деді. Зермело 1930 жылы екінші реттік аксиоматизацияны жариялады және осы контексте бірнеше категорикалық нәтижелерді дәлелдеді. Зермелоның Сколемнің мақаласынан кейін жинақ теориясының негіздері бойынша одан әрі жұмысы оның жинақтаушы иерархияны және шексіз логиканы формализациялауды табуына әкелді (van Dalen және Ebbinghaus, 2000, 11-ескертпе). Френкель және басқалар (1973, 303–304-беттер) Сколемнің нәтижесі 1920 жылдардағы жинақ теорияшыларына неліктен таңғажайып болғанын түсіндіреді. Гёдельдің толықтық теоремасы мен тығыздық теоремасы 1929 жылға дейін дәлелденбеді. Бұл теоремалар бірінші реттік логиканың қалай әрекет ететінін және оның шекті табиғатын ашып көрсетті, бірақ Гёдельдің толықтық теоремасының бастапқы дәлелі күрделі болды. Леон Хенкиннің толықтық теоремасының баламалы дәлелі, қазір тұтас бірінші реттік теорияның саналатын модельдерін құрудың стандартты әдісі болып табылады, ол 1947 жылға дейін ұсынылмады. Осылайша, 1922 жылы Сколемнің парадоксының жүзеге асуына мүмкіндік беретін бірінші реттік логиканың ерекше қасиеттері әлі толық түсініксіз болды. Қазір Сколемнің парадоксы бірінші реттік логикаға тән екені белгілі; егер жинақ теориясы толық семантикамен жоғары реттік логиканы қолдана отырып зерттелсе, онда ол семантиканың пайдаланылуына байланысты есептелетін модельдерге ие емес.
"Neither have the books yet been closed on the antinomy, nor has agreement on its significance and possible solution yet been reached." (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, p. 147). In 1925, von Neumann presented a novel axiomatisation of set theory, which developed into NBG set theory. Very much aware of Skolem's 1922 paper, von Neumann investigated countable models of his axioms in detail. In his concluding remarks, von Neumann comments that there is no categorical axiomatisation of set theory, or any other theory with an infinite model. Speaking of the impact of Skolem's paradox, he wrote:
"At present we can do no more than note that we have one more reason here to entertain reservations about set theory and that for the time being no way of rehabilitating this theory is known." (Ebbinghaus and van Dalen, 2000, p. 148)
Zermelo at first considered the Skolem paradox a hoax (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, p. 148 ff.) and spoke against it starting in 1929. Skolem's result applies only to what is now called first order logic, but Zermelo argued against the finitary metamathematics that underlie first order logic (Kanamori 2004, p. 519 ff.). Zermelo argued that his axioms should instead be studied in second order logic, a setting in which Skolem's result does not apply. Zermelo published a second order axiomatisation in 1930 and proved several categoricity results in that context. Zermelo's further work on the foundations of set theory after Skolem's paper led to his discovery of the cumulative hierarchy and formalisation of infinitary logic (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, note 11). Fraenkel et al. (1973, pp. 303–304) explain why Skolem's result was so surprising to set theorists in the 1920s. Gödel's completeness theorem and the compactness theorem were not proved until 1929. These theorems illuminated the way that first order logic behaves and established its finitary nature, although Gödel's original proof of the completeness theorem was complicated. Leon Henkin's alternative proof of the completeness theorem, which is now a standard technique for constructing countable models of a consistent first order theory, was not presented until 1947. Thus, in 1922, the particular properties of first order logic that permit Skolem's paradox to go through were not yet understood. It is now known that Skolem's paradox is unique to first order logic; if set theory is studied using higher order logic with full semantics, then it does not have any countable models, due to the semantics being used.
Қазіргі математикалық пікір
Қазіргі математикалық логикашылар Сколемнің парадоксын жиынтық теориясындағы өлімге әкелетін кемшілік ретінде қарамайды. Клейн (1967, 324-б.) осы нәтижені "шынайы қайшылық емес, аномалияның бір түрі" деп сипаттайды. Сколемнің нәтижесі қайшылық емес екенін дәлелдегеннен кейін, Клейн: "саналатындықтың абсолютті ұғымы жоқ" деген қорытындыға келеді. Хантер (1971, 208-б.) осы қайшылықты "парадокс деп те айту қиын" деп сипаттайды. Френкель және авторлар (1973, 304-б.) заманауи математиктерді бірінші реттік теориялардың категориялық еместігі Гёдельдің толық емес теоремасының тұжырымынан – яғни, бірізді, тиімді және жеткілікті күшті бірінші реттік аксиомалар жиыны толық емес екендігінен – гөрі алаңдатпайды деп түсіндіреді. ZF-тың саналатын модельдері жиынтық теорияны зерттеуде кең таралған құралға айналды. Мысалы, мәжбүрлеу әдетте саналатын модельдер арқылы түсіндіріледі. Осы саналатын ZF модельдері әлі де санаусыз жиындар бар деген теореманы қанағаттандырады деген факт патология деп есептелмейді; ван Хейеноорт (1967) оны "формальдық жүйелердің жаңа және күтпеген ерекшелігі" деп сипаттайды (van Heijenoort 1967, 290-б.).