Введение
Концепция математической логики
В математической логике и философии парадокс Сколема — это кажущееся противоречие, возникающее из теоремы о понижении Лёвенхейма — Сколема. Торальф Сколем (1922) был первым, кто обсудил, казалось бы, противоречивые аспекты теоремы и открыл относительность теоретико-множественных понятий, теперь известных как неабсолютность. Хотя это не является настоящей антиномией, как парадокс Рассела, результат обычно называют парадоксом и был описан как «парадоксальное положение дел» Сколемом (1922: с. 295). Парадокс Сколема заключается в том, что любая счетная аксиоматизация теории множеств в логике первого порядка, если она непротиворечива, имеет счетную модель. Это представляется противоречивым, поскольку из тех же аксиом можно доказать предложение, которое интуитивно утверждает (или точно утверждает в стандартной модели теории), что существуют множества, которые не являются счетными. Таким образом, кажущееся противоречие состоит в том, что модель, которая сама по себе счетна и, следовательно, содержит только счетные множества, удовлетворяет предложению первого порядка, которое интуитивно гласит: «существуют несчетные множества». Математическое объяснение парадокса, показывающее, что это не противоречие в математике, было дано Сколемом (1922). Работа Сколема была воспринята Эрнстом Цермело резко критически, который возражал против ограничений логики первого порядка, но результат быстро был принят математическим сообществом. Философские следствия парадокса Сколема получили широкое изучение. Одно из направлений исследования ставит под вопрос, насколько корректно утверждать, что любое предложение первого порядка на самом деле утверждает «существуют несчетные множества». Эта линия мысли может быть расширена до вопроса о том, является ли какое-либо множество несчетным в абсолютном смысле. В последнее время статья Хилари Патнэма «Модели и реальность» и ответы на неё привели к возобновлению интереса к философским аспектам результата Сколема.
Предыстория
Одним из самых ранних результатов в теории множеств, опубликованных Георгом Кантором в 1874 году, было существование несчётных множеств, таких как множество степеней натуральных чисел, множество действительных чисел и множество Кантора. Бесконечное множество X называется счётным, если существует взаимно однозначное соответствие между X и натуральными числами, и несчётным, если такого соответствия не существует. Когда в 1908 году Цермело предложил свои аксиомы для теории множеств, он доказал теорему Кантора, основываясь на них, чтобы продемонстрировать их состоятельность. Лёвенгейм (1915) и Скулем (1920, 1923) доказали теорему Лёвенгейма — Скулема. Нисходящая форма этой теоремы показывает, что если аксиоматизация первого порядка, удовлетворяющая условию счётности, выполняется для любой бесконечной структуры, то те же аксиомы выполняются для некоторой счётной структуры. В частности, это означает, что если аксиомы теории множеств Цермело в формулировке первого порядка выполнимы, то они выполнимы в некоторой счётной модели. То же самое верно для любой непротиворечивой аксиоматизации теории множеств в формулировке первого порядка.
Прием математического сообщества
Центральной целью ранних исследований теории множеств было найти аксиоматизацию первого порядка для теории множеств, которая была бы категорической, то есть аксиомы имели бы ровно одну модель, состоящую из всех множеств. Результат Сколема показал, что это невозможно, что вызвало сомнения в использовании теории множеств в качестве основания математики. Потребовалось время, чтобы теория логики первого порядка была достаточно развита для понимания математиками причины результата Сколема; в 1920-х годах какое-либо общепринятое разрешение парадокса отсутствовало. Френкель (1928) по-прежнему описывал этот результат как антиномию: «Книги по этой антиномии еще не закрыты, и согласия относительно ее значения и возможного решения пока не достигнуто» (van Dalen и Ebbinghaus, 2000, с. 147). В 1925 году фон Нейман представил новую аксиоматизацию теории множеств, которая впоследствии развилась в теорию множеств NBG. Хорошо знакомый с работой Сколема 1922 года, фон Нейман подробно исследовал счетные модели своих аксиом. В заключительных замечаниях фон Нейман отметил, что не существует категорической аксиоматизации теории множеств или какой-либо другой теории с бесконечной моделью. Говоря о влиянии парадокса Сколема, он писал: «В настоящее время мы можем лишь отметить, что это дает нам еще одну причину для осторожности в отношении теории множеств, и на данный момент не известно способа ее реабилитации» (Ebbinghaus и van Dalen, 2000, с. 148). Зермело поначалу считал парадокс Сколема мистификацией (van Dalen и Ebbinghaus, 2000, с. 148 и далее) и выступал против него, начиная с 1929 года. Результат Сколема применим только к тому, что сейчас называется логикой первого порядка, но Зермело возражал против финитарной метаматематики, лежащей в основе логики первого порядка (Kanamori 2004, с. 519 и далее). Зермело утверждал, что его аксиомы следует изучать в логике второго порядка, где результат Сколема неприменим. Зермело опубликовал аксиоматизацию второго порядка в 1930 году и доказал несколько теорем о категоричности в этом контексте. Дальнейшая работа Зермело над основами теории множеств после статьи Сколема привела к его открытию кумулятивной иерархии и формализации бесконечномерной логики (van Dalen и Ebbinghaus, 2000, примечание 11). Френкель и др. (1973, с. 303–304) объясняют, почему результат Сколема так удивил теоретиков множеств в 1920-х годах. Теорема о полноте Гёделя и теорема о компактности были доказаны только в 1929 году. Эти теоремы прояснили поведение логики первого порядка и установили ее финитарную природу, хотя первоначальное доказательство теоремы о полноте Гёделя было сложным. Альтернативное доказательство теоремы о полноте, предложенное Леоном Хенкиным, которое теперь является стандартным методом построения счетных моделей непротиворечивой теории первого порядка, было представлено только в 1947 году. Таким образом, в 1922 году специфические свойства логики первого порядка, позволяющие возникнуть парадоксу Сколема, еще не были поняты. Теперь известно, что парадокс Сколема уникален для логики первого порядка; если теория множеств изучается с использованием логики высшего порядка с полной семантикой, то она не имеет счетных моделей из-за используемой семантики.
"Neither have the books yet been closed on the antinomy, nor has agreement on its significance and possible solution yet been reached." (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, p. 147). In 1925, von Neumann presented a novel axiomatisation of set theory, which developed into NBG set theory. Very much aware of Skolem's 1922 paper, von Neumann investigated countable models of his axioms in detail. In his concluding remarks, von Neumann comments that there is no categorical axiomatisation of set theory, or any other theory with an infinite model. Speaking of the impact of Skolem's paradox, he wrote:
"At present we can do no more than note that we have one more reason here to entertain reservations about set theory and that for the time being no way of rehabilitating this theory is known." (Ebbinghaus and van Dalen, 2000, p. 148)
Zermelo at first considered the Skolem paradox a hoax (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, p. 148 ff.) and spoke against it starting in 1929. Skolem's result applies only to what is now called first order logic, but Zermelo argued against the finitary metamathematics that underlie first order logic (Kanamori 2004, p. 519 ff.). Zermelo argued that his axioms should instead be studied in second order logic, a setting in which Skolem's result does not apply. Zermelo published a second order axiomatisation in 1930 and proved several categoricity results in that context. Zermelo's further work on the foundations of set theory after Skolem's paper led to his discovery of the cumulative hierarchy and formalisation of infinitary logic (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, note 11). Fraenkel et al. (1973, pp. 303–304) explain why Skolem's result was so surprising to set theorists in the 1920s. Gödel's completeness theorem and the compactness theorem were not proved until 1929. These theorems illuminated the way that first order logic behaves and established its finitary nature, although Gödel's original proof of the completeness theorem was complicated. Leon Henkin's alternative proof of the completeness theorem, which is now a standard technique for constructing countable models of a consistent first order theory, was not presented until 1947. Thus, in 1922, the particular properties of first order logic that permit Skolem's paradox to go through were not yet understood. It is now known that Skolem's paradox is unique to first order logic; if set theory is studied using higher order logic with full semantics, then it does not have any countable models, due to the semantics being used.
Современное математическое мнение
Нынешние математические логики не рассматривают парадокс Сколема как какой-либо принципиальный недостаток теории множеств. Клин (1967, с. 324) описывает этот результат как "не парадокс в смысле явного противоречия, а скорее некую аномалию". Изучив аргумент Сколема о том, что результат не содержит противоречия, Клин заключает: "не существует абсолютного понятия счётности". Хантер (1971, с. 208) описывает это как "едва ли даже парадокс". Френкель и др. (1973, с. 304) объясняют, что современных математиков не беспокоит отсутствие категоричности теорий первого порядка, так же, как их не беспокоит заключение теоремы о неполноте Гёделя о том, что не существует последовательной, эффективной и достаточно сильной системы аксиом первого порядка, которая была бы полной. Счетные модели ZF стали обычным инструментом в изучении теории множеств. Например, метод принуждения часто объясняется на основе счётных моделей. Тот факт, что эти счетные модели ZF по-прежнему удовлетворяют теореме о существовании несчётных множеств, не считается патологией; ван Хейеноорт (1967) описывает это как "новую и неожиданную особенность формальных систем" (van Heijenoort 1967, с. 290).