Кіріспе
Аманативті сан – бұл бастапқы санға тең мөлшерде бүтін сандардан тұратын көп жиынтығы бар оң бүтін сан, олардың қосындысы бастапқы санға тең болады және көбейтіндісі де бастапқы санға тең болады. Алгебралық тұрғыдан алғанда, оң бүтін сан n үшін, {a1, …, an} жиынтығындағы n бүтін санға қатысты келесі теңдіктер орындалады. Көп жиынтықта теріс сандарға да рұқсат етіледі. Мысалы, 5 – аманативті сан, себебі 5 = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 5. 4-тен басқа, 0 немесе 1-ге конгруэнтті (қалдықсыз бөлінетін) барлық және тек қана сандар ғана аманативті болады. Бірінші бірнеше аманативті сандар: 1, 5, 8, 9, 12, 13.
hold. Negative numbers are allowed in the multiset. For example, 5 is amenable since 5 = 1 + ( 1) + 1 + ( 1) + 5. All and only those numbers congruent to 0 or 1 (mod 4), except 4, are amenable. The first few amenable numbers are: 1, 5, 8, 9, 12, 13
A solution for integers of the form n = 4k + 1 could be given by a set of 2k (+1)s and 2k ( 1)s and n itself. (This generalizes the example of 5 given above.) Although not obvious from the definition, the set of amenable numbers is closed under multiplication (the product of two amenable numbers is an amenable number). All composite numbers would be amenable if the multiset was allowed to be of any length, because, even if other solutions are available, one can always obtain a solution by taking the prime factorization (expressed with repeated factors rather than exponents) and add as many 1s as necessary to add up to n. The product of this set of integers will yield n no matter how many 1s there are in the set. Furthermore, still under this assumption, any integer n would be amenable. Consider the inelegant solution for n of 1={1, 1, 1, 1, n}. In the sum, the positive ones are cancelled out by the negative ones, leaving n, while in the product, the two negative ones cancel out the effect of their signs. Amenable numbers should not be confused with amicable numbers, which are pairs of integers whose divisors add up to each other.
n = 4k + 1 түріндегі бүтін сандар үшін шешім 2k (+1) және 2k (-1) сандарынан, сондай-ақ n өзінен тұратын жиынтық арқылы берілуі мүмкін. (Бұл жоғарыда келтірілген 5 мысалын жалпылайды.) Анықтамадан көрінбейтін болса да, аманативті сандар жиыны көбейту операциясына қатысты жабық (екі аманативті санның көбейтіндісі – аманативті сан). Егер көп жиынтықтың кез келген ұзындығына рұқсат етілсе, барлық жарасымды сандар аманативті болар еді, себебі басқа шешімдер болған жағдайда да, бастапқы санның жай көбейткіштерін (дәрежелер емес, қайталама факторлар түрінде) алып, n-ге дейін қосу үшін қажетті 1-лерді қосу арқылы әрқашан шешім табуға болады. Мұндай бүтін сандар жиынының көбейтіндісі жиынтықтағы 1-лер санына қарамастан, n-ге тең болады. Бұдан әрі, осы шарттар сақталғанда, кез келген n бүтін саны аманативті болады. Мысалы, n=1 үшін {1, -1, 1, -1, n} жиынтығын қарастырайық. Қосындыда оң сандар теріс сандармен өшіріледі, нәтижесінде n қалды, ал көбейтіндіде екі теріс санның әсері бір-бірін жояды. Аманативті сандарды достық сандармен шатастырмау керек, достық сандар – бұл бөлгіштерінің қосындысы бір-біріне тең болатын сандар жұбы.
hold. Negative numbers are allowed in the multiset. For example, 5 is amenable since 5 = 1 + ( 1) + 1 + ( 1) + 5. All and only those numbers congruent to 0 or 1 (mod 4), except 4, are amenable. The first few amenable numbers are: 1, 5, 8, 9, 12, 13
A solution for integers of the form n = 4k + 1 could be given by a set of 2k (+1)s and 2k ( 1)s and n itself. (This generalizes the example of 5 given above.) Although not obvious from the definition, the set of amenable numbers is closed under multiplication (the product of two amenable numbers is an amenable number). All composite numbers would be amenable if the multiset was allowed to be of any length, because, even if other solutions are available, one can always obtain a solution by taking the prime factorization (expressed with repeated factors rather than exponents) and add as many 1s as necessary to add up to n. The product of this set of integers will yield n no matter how many 1s there are in the set. Furthermore, still under this assumption, any integer n would be amenable. Consider the inelegant solution for n of 1={1, 1, 1, 1, n}. In the sum, the positive ones are cancelled out by the negative ones, leaving n, while in the product, the two negative ones cancel out the effect of their signs. Amenable numbers should not be confused with amicable numbers, which are pairs of integers whose divisors add up to each other.