Кіріспе
Математикадағы бейнелеулер түрлері
Математикада функционал – функцияның бір түрі. Бұл терминнің нақты анықтамасы саласына (ал кейде тіпті авторға) байланысты өзгереді. Сызықтық алгебрада, ол сызықтық форманың синонимі болып табылады, яғни векторлық кеңістіктен скалярлар өрісіне сызықтық бейнелеу (демек, ол қос кеңістіктің бір элементе). Функционалдық талдау және оған қатысты салаларда, ол кеңістіктен нақты немесе кешенді сандар өрісіне бейнелеуді білдіреді. Функционалдық талдауда, сызықтық функционал термині сызықтық форманың синонимі; яғни, бұл скалярлық мәнді сызықтық бейнелеу. Авторға байланысты, мұндай бейнелеулер сызықтық болуы немесе болмауы мүмкін, немесе бүкіл кеңістікте анықталған болуы мүмкін. Компьютерлік ғылымда, ол жоғары ретті функциямен синоним, яғни бір немесе бірнеше функцияларды аргумент ретінде қабылдайтын немесе қайтаратын функция. Бұл мақала негізінен 18-шы ғасырдың басында вариациялар есебінің бір бөлігі ретінде пайда болған екінші ұғымды қарастырады. Бірінші ұғым, көбірек заманауи және абстрактілі, жеке мақалада сызықтық форма деген атпен толыққанды қарастырылады. Үшінші ұғым жоғары ретті функциялар туралы компьютерлік ғылым мақаласында егжей-тегжейлі түсіндіріледі. Егер кеңістік функциялар кеңістігі болса, функционал – «функцияның функциясы», ал кейбір ескі авторлар «функционал» терминін «функцияның функциясы» деп анықтаған. Дегенмен, кеңістіктің функциялар кеңістігі екендігі математикалық тұрғыдан маңызды емес, сондықтан бұл ескі анықтама енді кең таралған емес. Бұл термин вариациялар есебінен шыққан, онда белгілі бір функционалды азайтатын (немесе арттыратын) функция ізделеді. Физикадағы ерекше маңызды қолданысы – жүйенің әрекетті азайтатын (немесе арттыратын) күйін іздеу, яғни Лагранждың уақыт интегралын іздеу.
In functional analysis and related fields, it refers to a mapping from a space into the field of real or complex numbers. In functional analysis, the term linear functional is a synonym of linear form; that is, it is a scalar valued linear map. Depending on the author, such mappings may or may not be assumed to be linear, or to be defined on the whole space
In computer science, it is synonymous with a higher order function, which is a function that takes one or more functions as arguments or returns them. This article is mainly concerned with the second concept, which arose in the early 18th century as part of the calculus of variations. The first concept, which is more modern and abstract, is discussed in detail in a separate article, under the name linear form. The third concept is detailed in the computer science article on higher order functions. In the case where the space is a space of functions, the functional is a "function of a function", and some older authors actually define the term "functional" to mean "function of a function". However, the fact that is a space of functions is not mathematically essential, so this older definition is no longer prevalent. The term originates from the calculus of variations, where one searches for a function that minimizes (or maximizes) a given functional. A particularly important application in physics is search for a state of a system that minimizes (or maximizes) the action, or in other words the time integral of the Lagrangian.
Функционалдық теңдеулер
Дәстүрлі қолданыс функционалдық теңдеу туралы сөйлескенде де қолданылады, яғни функционалдар арасындағы теңдеу туралы: функционалдар арасындағы теңдеуді «шешуге болатын теңдеу» ретінде қарастыруға болады, ал оның шешімдері – функциялардың өзі. Мұндай теңдеулерде бірнеше өзгермелі белгісіздер жиыны болуы мүмкін, мысалы, қосымша бейнелеу Кошидің функционалдық теңдеуін қанағаттандырады делінгенде:
Деривативтер мен интеграция
Функционалдық туындылар Лагранж механикасында қолданылады. Олар функционалдардың туындылары болып табылады; яғни, кіріс функциясының шағын өзгерісіне байланысты функционалдың қалай өзгеретіні туралы ақпаратты береді. Ричард Фейнман кванттық механиканың тарих бойынша қосындылау әдісінде функционалдық интегралды басты идея ретінде пайдаланды. Бұл қолданыс белгілі бір функциялық кеңістік бойынша интеграл есептеуді білдіреді.