Введение
Типы отображений в математике
В математике функционал — это определённый тип функции. Точное определение термина варьируется в зависимости от области математики (а иногда даже от автора). В линейной алгебре он является синонимом линейной формы, которая представляет собой линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров (то есть является элементом двойственного пространства). В функциональном анализе и смежных областях он относится к отображению из пространства в поле действительных или комплексных чисел. В функциональном анализе термин линейный функционал является синонимом линейной формы; то есть это скалярнозначное линейное отображение. В зависимости от автора, такие отображения могут быть или не быть линейными, или определены не на всём пространстве. В информатике он является синонимом функции высшего порядка, которая принимает одну или несколько функций в качестве аргументов или возвращает их. Данная статья посвящена в основном второму понятию, которое возникло в начале XVIII века в рамках вариационного исчисления. Первое понятие, более современное и абстрактное, подробно рассматривается в отдельной статье под названием линейная форма. Третье понятие подробно описано в статье по информатике о функциях высшего порядка. В случае, когда пространство является пространством функций, функционал является «функцией от функции», и некоторые старые авторы фактически определяли термин «функционал» как «функцию от функции». Однако тот факт, что является пространством функций, не является математически существенным, поэтому это более старое определение больше не распространено. Термин происходит из вариационного исчисления, где ищут функцию, которая минимизирует (или максимизирует) заданный функционал. Особенно важное применение в физике — поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие, или, другими словами, временной интеграл от лагранжиана.
In functional analysis and related fields, it refers to a mapping from a space into the field of real or complex numbers. In functional analysis, the term linear functional is a synonym of linear form; that is, it is a scalar valued linear map. Depending on the author, such mappings may or may not be assumed to be linear, or to be defined on the whole space
In computer science, it is synonymous with a higher order function, which is a function that takes one or more functions as arguments or returns them. This article is mainly concerned with the second concept, which arose in the early 18th century as part of the calculus of variations. The first concept, which is more modern and abstract, is discussed in detail in a separate article, under the name linear form. The third concept is detailed in the computer science article on higher order functions. In the case where the space is a space of functions, the functional is a "function of a function", and some older authors actually define the term "functional" to mean "function of a function". However, the fact that is a space of functions is not mathematically essential, so this older definition is no longer prevalent. The term originates from the calculus of variations, where one searches for a function that minimizes (or maximizes) a given functional. A particularly important application in physics is search for a state of a system that minimizes (or maximizes) the action, or in other words the time integral of the Lagrangian.
Функциональные уравнения
Традиционное использование также применимо, когда речь идет о функциональном уравнении, то есть об уравнении между функционалами: уравнение между функционалами можно рассматривать как «уравнение, которое нужно решить», а решениями являются сами функции. В таких уравнениях может быть несколько множеств переменных, например, когда говорят, что аддитивное отображение удовлетворяет функциональному уравнению Коши.
Деривативные и интеграционные
Функциональные производные используются в лагранжевой механике. Они являются производными функционалов, то есть содержат информацию об изменении функционала при малом изменении входной функции. Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы как ключевую идею в своей формулировке квантовой механики, основанной на суммировании по траекториям. Это применение подразумевает интегрирование по некоторому функциональному пространству.