Кіріспе
Сызықтық және уақыт инвариантты математикалық модель. Жүйелік талдауда және басқа да зерттеу салаларында, сызықтық уақыт инвариантты (LTI) жүйе – сызықтылық және уақыт инварианттылығының шарттарына сәйкес кез келген кіріс сигналынан шығыс сигналын тудыратын жүйе; осы терминдер төменде қысқаша түсіндіріледі. Бұл қасиеттер (нақты немесе жуық) көптеген маңызды физикалық жүйелерге қатысты, онда жүйенің кез келген x(t) кірісіне жауабы y(t) конволюция арқылы тікелей анықталады: y(t) = (x ∗ h)(t), мұнда h(t) жүйенің импульстік жауабы деп аталады, ал ∗ конволюцияны білдіреді (көбейтумен шатастыруға болмайды). Сонымен қатар, мұндай кез келген жүйені шешуге жүйелі әдістер бар (h(t) анықталады), ал екі қасиетті де қанағаттандырмайтын жүйелерді талдау арқылы шешу көбінесе қиын (немесе мүмкін емес). LTI жүйесінің жақсы мысалы – резисторлар, конденсаторлар, индукторлар және сызықтық күшейткіштерден тұратын кез келген электрлік тізбек. Сызықтық уақыт инвариантты жүйелер теориясы бейне өңдеуде де қолданылады, онда жүйелерде уақыт өлшемімен қатар немесе оның орнына кеңістіктік өлшемдер болады. Мұндай жүйелерді терминологияны ең жалпылау үшін сызықтық трансляциялық инвариант деп атауға болады. Дискретті уақыт (яғни, дискреттелген) жүйелер үшін сызықтық сдвиг инвариантты сәйкес термин болып табылады. LTI жүйелер теориясы – қолданбалы математика саласы, ол электрлік тізбектерді талдау және жобалау, сигналдарды өңдеу және сүзгілерді жобалау, басқару теориясы, машина жасау, бейне өңдеу, түрлі өлшеу құралдарын жобалау, ЯМР спектроскопиясы және көптеген басқа техникалық салаларда тікелей қолданылады, онда қалыпты дифференциалдық теңдеулер жүйелері кездеседі.
In system analysis, among other fields of study, a linear time invariant (LTI) system is a system that produces an output signal from any input signal subject to the constraints of linearity and time invariance; these terms are briefly defined below. These properties apply (exactly or approximately) to many important physical systems, in which case the response y(t) of the system to an arbitrary input x(t) can be found directly using convolution: 1=y(t) = (x ∗ h)(t) where h(t) is called the system's impulse response and ∗ represents convolution (not to be confused with multiplication). What's more, there are systematic methods for solving any such system (determining h(t)), whereas systems not meeting both properties are generally more difficult (or impossible) to solve analytically. A good example of an LTI system is any electrical circuit consisting of resistors, capacitors, inductors and linear amplifiers. Linear time invariant system theory is also used in image processing, where the systems have spatial dimensions instead of, or in addition to, a temporal dimension. These systems may be referred to as linear translation invariant to give the terminology the most general reach. In the case of generic discrete time (i. e., sampled) systems, linear shift invariant is the corresponding term. LTI system theory is an area of applied mathematics which has direct applications in electrical circuit analysis and design, signal processing and filter design, control theory, mechanical engineering, image processing, the design of measuring instruments of many sorts, NMR spectroscopy, and many other technical areas where systems of ordinary differential equations present themselves.
Шолу
Кез келген LTI жүйесінің анықтамалық қасиеттері – сызықтық және уақыт инварианттылығы болып табылады. Сызықтық дегеніміз – кіріс пен шығыс арасындағы қатынас, екеуі де функция ретінде қарастырылса, сызықтық бейнелеу болып табылады: егер тұрақты шама болса, жүйеге берілген кіріске сәйкес шығыс ; егер және жүйелік шығысы болса, жүйеге берілген кіріске сәйкес шығыс , бұл барлық , мәндері үшін орындалады. Соңғы шарт көбінесе суперпозиция принципі деп аталады. Уақыт инварианттылығы дегеніміз – жүйеге енгізілген сигналды қазір немесе T секундтан кейін қолдансақ, шығыс T секундтық уақыт кешігуін қоспағанда бірдей болады. Яғни, егер кіріске сәйкес шығыс болса, онда кіріске сәйкес шығыс болады. Сондықтан жүйе уақыт инвариантты, себебі шығыс кіріс қолданылған нақты уақытқа тәуелді емес. LTI жүйелер теориясының негізгі нәтижесі – кез келген LTI жүйені жүйенің импульстік жауабы деп аталатын бір функция толық сипаттай алады. Жүйенің шығысы – жүйеге берілген кіріс пен жүйенің импульстік жауабының конволюциясы болып табылады. Бұл үздіксіз уақыт жүйесі деп аталады. Сол сияқты, дискретті уақыт сызықтық уақыт инвариантты (немесе, жалпы алғанда, "ауысу инвариантты") жүйесі дискретті уақытта жұмыс істейтін жүйе ретінде анықталады: мұнда y, x және h – тізбектер, ал конволюция дискретті уақытта интегралдың орнына дискретті қосындыны пайдаланады. LTI жүйелерін жиілік доменінде жүйенің беру функциясы арқылы сипаттауға болады, ол жүйенің импульстік жауабының Лаплас трансформациясы (немесе дискретті уақыт жүйелері үшін Z трансформациясы) болып табылады. Бұл трансформациялардың қасиеттерінің нәтижесінде, жүйенің жиілік доменіндегі шығысы – беру функциясы мен кіріс трансформациясының көбейтіндісіне тең. Басқаша айтқанда, уақыт доменіндегі конволюция жиілік доменіндегі көбейтуге эквивалентті. Барлық LTI жүйелері үшін өзіндік функциялар және трансформациялардың негізгі функциялары – күрделі экспоненталар болып табылады. Яғни, егер жүйеге кіретін сигнал күрделі амплитудасы мен күрделі жиілігі бар күрделі толқын болса, шығыс сол сигналдың күрделі тұрақтыға көбейтілген нұсқасы болады, мысалы, жаңа күрделі амплитуда үшін . – жиіліктегі беру функциясы. Синусоидалар – күрделі конъюгат жиіліктері бар күрделі экспоненталардың қосындысы болғандықтан, егер жүйеге кіретін сигнал синусоида болса, онда жүйенің шығысы да синусоида болады, мүмкін басқа амплитудамен және басқа фазамен, бірақ орнықты күйге жеткенде әрқашан бірдей жиілікпен. LTI жүйелері кірісте жоқ жиілік компоненттерін шығара алмайды. LTI жүйелер теориясы көптеген маңызды жүйелерді сипаттауға мүмкіндік береді. Көптеген LTI жүйелерін, кем дегенде уақытқа байланысты өзгеретін және/немесе сызықтық емес жүйелермен салыстырғанда, талдау оңай болып саналады. Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеу ретінде модельдеуге болатын кез келген жүйе LTI жүйесі болып табылады. Мұндай жүйелердің мысалдары – резисторлар, индукторлар және конденсаторлардан (RLC тізбектері) құралған электрлік тізбектер. Идеалды серіппе-масса-демпфер жүйелері де LTI жүйелері болып табылады және математикалық жағынан RLC тізбектерімен эквивалентті. Көптеген LTI жүйелік ұғымдар үздіксіз уақыт және дискретті уақыт (сызықтық ауысу инвариантты) жағдайлары арасында ұқсас. Сурет өңдеуде уақыт айнымалысы екі кеңістіктік айнымалымен ауыстырылады, ал уақыт инварианттылығы түсінігі екі өлшемді ауысу инварианттылығымен ауыстырылады. Сүзгі тізбектерін және MIMO жүйелерін талдағанда, сигналдар векторларын қарастыру пайдалы. Уақыт инвариантты емес сызықтық жүйені шешу үшін Грин функциясы әдісі сияқты басқа тәсілдерді қолдануға болады.
Since sinusoids are a sum of complex exponentials with complex conjugate frequencies, if the input to the system is a sinusoid, then the output of the system will also be a sinusoid, perhaps with a different amplitude and a different phase, but always with the same frequency upon reaching steady state. LTI systems cannot produce frequency components that are not in the input. LTI system theory is good at describing many important systems. Most LTI systems are considered "easy" to analyze, at least compared to the time varying and/or nonlinear case. Any system that can be modeled as a linear differential equation with constant coefficients is an LTI system. Examples of such systems are electrical circuits made up of resistors, inductors, and capacitors (RLC circuits). Ideal spring–mass–damper systems are also LTI systems, and are mathematically equivalent to RLC circuits. Most LTI system concepts are similar between the continuous time and discrete time (linear shift invariant) cases. In image processing, the time variable is replaced with two space variables, and the notion of time invariance is replaced by two dimensional shift invariance. When analyzing filter banks and MIMO systems, it is often useful to consider vectors of signals. A linear system that is not time invariant can be solved using other approaches such as the Green function method.
Тікелей дәлелдеу
Сондай-ақ, күрделі экспоненциалдарды LTI жүйелерінің өзіндік функциялары ретінде тікелей шығаруға болады. Бір күрделі экспоненциалды және оның уақыт бойынша ығысқан түрін қарастырайық. Тұрақтыға қатысты сызықтылық принципі бойынша және уақыт инварианттылығы принципі бойынша. Осылайша, теңдеуді орнатып, қайта атасақ, мынаны аламыз: яғни, кіріс ретінде берілген күрделі экспоненциал шығыс ретінде сол жиіліктің күрделі экспоненциалын береді.
by time invariance of
So Setting and renaming we get:
i. e. that a complex exponential as input will give a complex exponential of same frequency as output.
Жүйенің маңызды қасиеттері
Жүйенің ең маңызды қасиеттерінің бірі себептілік пен тұрақтылық. Себептілік – тәуелсіз айнымалысы уақыт болатын физикалық жүйе үшін қажетті шарт, бірақ бұл шектеу, мысалы, бейне өңдеу сияқты басқа жағдайларда қолданылмайды.
Себеп-салдарлық байланысы
Жүйе себепті болып есептеледі, егер оның шығысы тек қазіргі және өткен кірістерге ғана тәуелді болса, ал болашақ кірістерге тәуелді болмаса. Себептіліктің қажетті және жеткілікті шарты:
мұндағы – импульстік жауап. Екі жақты Лаплас түрлендіруінен себептілікті анықтау, әдетте, мүмкін емес. Дегенмен, уақыт доменінде жұмыс істегенде, біржақты Лаплас түрлендіруі қолданылады, ол себептілікті талап етеді.
Дискретті уақыт жүйелері
Жалғасты уақыт жүйелеріндегі дерлік барлық нәрсенің дискретті уақыт жүйелерінде де баламасы бар.
Тұрақты уақыт жүйелерінен дискретті уақыт жүйелері
Көптеген жағдайларда дискретті уақыт (DT) жүйесі іріктеулі үздіксіз уақыт (CT) жүйесінің бір бөлігі болып табылады. Мысалы, цифрлық жазу жүйесі аналогты дыбысты қабылдап, оны цифрлық форматқа түрлендіреді, цифрлық сигналдарды өңдейді және адамдар тыңдауы үшін аналогты дыбысты қайта ойнайды. Іс жүзіндегі жүйелерде алынған DT сигналдары әдетте CT сигналдарының тегіс үлгіленген түрлері болып табылады. Егер CT сигнал болса, онда аналогты-цифрлық түрлендіргішке дейін қолданылатын үлгілеу тізбегі оны DT сигналына түрлендіреді:
мұнда T – үлгілеу периоды. Үлгілеуден бұрын кіріс сигналы әдетте "бүктеу жиілігінен" (1/(2T)) жоғары жиіліктерді жоятын Найквист сүзгісінен өтеді; бұл сүзгіленген сигналдағы ақпараттың жоғалмайтынын қамтамасыз етеді. Сүзгілеусіз, бүктеу жиілігінен (немесе Найквист жиілігінен) жоғары кез келген жиілік компоненті басқа жиілікке ауыстырылады (осылайша бастапқы сигнал бұрмаланады), себебі DT сигналы тек бүктеу жиілігінен төмен жиілік компоненттерін ғана қолдай алады.
Z және дискретті уақыт Фурье трансформациялары
Экспоненталардың өзіндік функция қасиеті LTI жүйелерін талдау және түсіну үшін өте пайдалы. Z-түрлендіруі – импульстік жауаптан өзіндік мәндерді алудың нақты жолы. Ерекше қызығушылық тудыратындары – таза синусоидалар; яғни, түріндегі экспоненталар, мұнда . Оларды дискреттік уақыт Фурье түрлендіруі (DTFT) арқылы да жазуға болады. және екеуі де жүйелік функция, жүйелік жауап немесе трансферт-функция деп аталады. Бір жақты Лаплас түрлендіруі сияқты, Z-түрлендіруі де бір жақты сигналдар, яғни t<0 үшін нөлге тең сигналдар контекстінде қолданылады. Дискреттік уақыт Фурье түрлендіруі мен Фурье қатарлары мерзімді сигналдарды талдау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл екі түрлендірудің де конволюция қасиеттеріне байланысты, жүйе шығысын беретін конволюция түрлендіру доменіндегі көбейтуге түрлендіріледі. Яғни,
is exactly the way to get the eigenvalues from the impulse response. Of particular interest are pure sinusoids; i. e. exponentials of the form , where These can also be written as with The discrete time Fourier transform (DTFT) gives the eigenvalues of pure sinusoids. Both of and are called the system function, system response, or transfer function. Like the one sided Laplace transform, the Z transform is usually used in the context of one sided signals, i. e. signals that are zero for t<0. The discrete time Fourier transform Fourier series may be used for analyzing periodic signals. Due to the convolution property of both of these transforms, the convolution that gives the output of the system can be transformed to a multiplication in the transform domain. That is,
Just as with the Laplace transform transfer function in continuous time system analysis, the Z transform makes it easier to analyze systems and gain insight into their behavior.
Үздіксіз уақыт жүйесін талдаудағы Лаплас түрлендіруінің трансферт-функциясы сияқты, Z-түрлендіруі жүйелерді талдауды және олардың әрекетін түсінуді жеңілдетеді.
is exactly the way to get the eigenvalues from the impulse response. Of particular interest are pure sinusoids; i. e. exponentials of the form , where These can also be written as with The discrete time Fourier transform (DTFT) gives the eigenvalues of pure sinusoids. Both of and are called the system function, system response, or transfer function. Like the one sided Laplace transform, the Z transform is usually used in the context of one sided signals, i. e. signals that are zero for t<0. The discrete time Fourier transform Fourier series may be used for analyzing periodic signals. Due to the convolution property of both of these transforms, the convolution that gives the output of the system can be transformed to a multiplication in the transform domain. That is,
Just as with the Laplace transform transfer function in continuous time system analysis, the Z transform makes it easier to analyze systems and gain insight into their behavior.
Жүйенің маңызды қасиеттері
Дискретті уақыт LTI жүйесінің кіріс-шығыс сипаттамалары оның импульстік жауабымен толық сипатталады. Жүйенің ең маңызды екі қасиеті – себептілік және тұрақтылық. Уақыт бойынша себепсіз жүйелерді жоғарыда аталғандай анықтап, талдауға болады, бірақ оларды нақты уақытта іске асыру мүмкін емес. Тұрақсыз жүйелерді де талдауға және құруға болады, бірақ олардың пайдасы тек жалпы көшіру функциясы тұрақты болатын үлкен жүйелердің құрамында ғана.
Себеп-салдарлық байланысы
Дискретті уақыт LTI жүйесі себепті болып есептеледі, егер шығыстың ағымдағы мәні кірістің ағымдағы және өткен мәндеріне ғана тәуелді болса. Себептіліктің қажетті және жеткілікті шарты:
мұндағы – импульстік жауап. Z-түрлендіру арқылы себептілікті жалпы анықтау мүмкін емес, себебі кері түрлендіру бірегей емес. Конвергенция аймағы белгіленген жағдайда ғана себептілікті анықтауға болады.