Линейные стационарные системы: математическая модель и свойства.

Введение

Математическая модель, которая является линейной и инвариантной во времени.

В системном анализе, среди других областей исследования, линейная система, инвариантная во времени (LTI), – это система, которая генерирует выходной сигнал из любого входного сигнала при соблюдении ограничений линейности и инвариантности во времени; эти термины кратко определены ниже. Эти свойства применимы (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, в этом случае отклик y(t) системы на произвольный вход x(t) можно найти непосредственно с помощью свертки: y(t) = (x ∗ h)(t), где h(t) называется импульсной характеристикой системы, а ∗ обозначает свертку (не следует путать с умножением). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определение h(t)), в то время как системы, не удовлетворяющие обоим свойствам, обычно сложнее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, индукторов и линейных усилителей. Теория линейных систем, инвариантных во времени, также используется в обработке изображений, где системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы могут называться линейно-трансляционно инвариантными, чтобы придать терминологии наиболее общий охват. В случае общих дискретных систем (т.е. дискретизированных во времени) соответствующим термином является линейная инвариантность относительно сдвига. Теория систем LTI – это область прикладной математики, имеющая непосредственное применение в анализе и проектировании электрических цепей, обработке сигналов и проектировании фильтров, теории управления, машиностроении, обработке изображений, проектировании разнообразных измерительных приборов, спектроскопии ЯМР и многих других технических областях, где возникают системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обзор

Определяющими свойствами любой LTI-системы являются линейность и временная инвариантность. Линейность означает, что соотношение между входом и выходом, рассматриваемыми как функции, является линейным отображением: если – константа, то выход системы на вход равен ; если – другой вход с выходом системы , то выход системы на вход равен , что применимо для всех возможных значений , , Последнее условие часто называют принципом суперпозиции. Временная инвариантность означает, что независимо от того, прикладываем ли мы вход к системе сейчас или через T секунд, выход будет идентичным, за исключением временной задержки в T секунд. То есть, если выход, обусловленный входом , равен , то выход, обусловленный входом , равен . Следовательно, система является временно инвариантной, поскольку выход не зависит от конкретного момента времени приложения входа. Фундаментальный результат в теории LTI-систем заключается в том, что любая LTI-система может быть полностью описана единственной функцией, называемой импульсной характеристикой системы. Выход системы является просто свёрткой входа в систему с импульсной характеристикой системы . Это называется системой с непрерывным временем. Аналогично, дискретная линейная временная инвариантная система (или, в более общем случае, "инвариантная относительно сдвига") определяется как система, работающая в дискретном времени: , где y, x и h – последовательности, а свёртка в дискретном времени использует дискретное суммирование вместо интеграла. LTI-системы также могут быть охарактеризованы в частотной области передаточной функцией системы, которая является преобразованием Лапласа импульсной характеристики системы (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входного сигнала. Иными словами, свёртка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Для всех LTI-систем собственными функциями и базисными функциями преобразований являются комплексные экспоненты. То есть, если вход в систему представляет собой комплексную форму сигнала с некоторой комплексной амплитудой и комплексной частотой , то выход будет некоторой комплексной константой, умноженной на вход, например, для некоторой новой комплексной амплитуды . Отношение является передаточной функцией на частоте . Поскольку синусоиды являются суммой комплексных экспонент с комплексно сопряжёнными частотами, если вход в систему – синусоида, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фазой, но всегда с той же частотой при установлении стационарного режима. LTI-системы не могут генерировать частотные компоненты, отсутствующие во входном сигнале. Теория LTI-систем хорошо описывает многие важные системы. Большинство LTI-систем считаются "простыми" в анализе, по крайней мере, по сравнению с системами, изменяющимися во времени и/или нелинейными. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является LTI-системой. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов, индукторов и конденсаторов (RLC-цепи). Идеальные системы "пружина-масса-демпфер" также являются LTI-системами и математически эквивалентны RLC-цепям. Большинство концепций LTI-систем схожи для систем с непрерывным временем и дискретным временем (линейно инвариантных относительно сдвига). В обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется двумерной инвариантностью относительно сдвига. При анализе фильтровых банков и систем MIMO часто полезно рассматривать векторы сигналов. Линейную систему, которая не является временно инвариантной, можно решить другими методами, такими как метод функции Грина.

Прямые доказательства

Также можно непосредственно получить комплексные экспоненты как собственные функции LTI-систем. Пусть задана комплексная экспонента и сдвинутая во времени её версия. Благодаря линейности относительно константы и свойству временной инвариантности, имеем:

То есть, комплексная экспонента на входе даст комплексную экспоненту той же частоты на выходе.

Важные свойства системы

Некоторые из наиболее важных свойств системы — причинность и устойчивость. Причинность необходима для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, например, при обработке изображений.

Причинно-следственная связь

Система считается причинной, если её выход зависит только от текущих и прошлых входных сигналов, но не от будущих. Необходимым и достаточным условием причинности является неотрицательность импульсной характеристики. В общем случае невозможно определить причинность по двустороннему преобразованию Лапласа. Однако при работе в временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа, которое предполагает причинность.

Системы дискретного времени

Почти всё в системах с непрерывным временем имеет соответствие в системах с дискретным временем.

Дискретные системы времени от систем непрерывного времени

Во многих контекстах дискретная система (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, система цифровой записи принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания. В практических системах полученные дискретные сигналы (DT) обычно являются равномерно дискретизированными версиями непрерывных сигналов (CT). Если x(t) – непрерывный сигнал (CT), то схема дискретизации, используемая перед аналого-цифровым преобразователем, преобразует его в дискретный сигнал (DT):

где T – период дискретизации. Перед дискретизацией входной сигнал обычно пропускается через так называемый фильтр Найквиста, который удаляет частоты выше "частоты отсчета" 1/(2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любая частотная составляющая выше частоты отсчета (или частоты Найквиста) будет искажена, отображаясь на другую частоту (и, следовательно, искажая исходный сигнал), поскольку дискретный сигнал (DT) может поддерживать только частотные составляющие ниже частоты отсчета.

Z и дискретные трансформации Фурье

Свойство собственной функции экспоненциальных функций очень полезно как для анализа, так и для понимания LTI-систем. Z-преобразование – это точный способ получения собственных значений из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненциальные функции вида , где . Их также можно записать как с помощью дискретного преобразования Фурье (DTFT). Дискретное преобразование Фурье (DTFT) дает собственные значения чистых синусоид. Оба – и – называются системной функцией, характеристикой системы или передаточной функцией. Подобно одностороннему преобразованию Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, равных нулю при t < 0. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье могут использоваться для анализа периодических сигналов. Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, определяющая выход системы, может быть преобразована в умножение в частотной области. То есть,

как и в случае передаточной функции преобразования Лапласа при анализе непрерывных систем, Z-преобразование облегчает анализ систем и позволяет глубже понять их поведение.

Важные свойства системы

Характеристики "вход-выход" дискретной линейной стационарной (LTI) системы полностью описываются ее импульсной характеристикой. Два наиболее важных свойства системы – причинность и устойчивость. Непричинные (во времени) системы могут быть определены и проанализированы, как описано выше, но не могут быть реализованы в реальном времени. Неустойчивые системы также могут быть проанализированы и построены, но полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой устойчива.

Причинно-следственная связь

Система LTI с дискретным временем является причинно-следственной, если текущее значение выходного сигнала зависит только от текущего и прошлых значений входного сигнала. Необходимым и достаточным условием причинности является

где – импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинность по Z-преобразованию, поскольку обратное преобразование не является однозначным. Однако, если область сходимости указана, то причинность можно определить.