Кіріспе
Эйнштейннің өріс теңдеулерінің Шварцшильд шешіміндегі бөлшектердің траекториялары Жалпы салыстырмалылық теориясында Шварцшильд геодезиясы орталық, бекітілген массаның гравитациялық өрісіндегі сынақ бөлшектерінің қозғалысын сипаттайды, яғни Шварцшильд метрикасындағы қозғалысты. Шварцшильд геодезиясы Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын тексеруде шешуші роль атқарды. Мысалы, олар Күн жүйесіндегі планеталардың аномальды прецессиясын және гравитацияның жарықтың бұрылуын дәл болжайды. Шварцшильд геодезиясы гравитациялық өріске аз үлес қосатын өте кішкентай массалы бөлшектердің қозғалысына ғана қатысты. Дегенмен, егер бөлшектің массасы орталық массадан әлдеқайда кіші болса, мысалы, жұлдызының айналасында айналатын планеталар үшін, көптеген астрофизикалық жағдайларда олар өте дәл. Шварцшильд геодезиясы екі кез келген массалы дененің салыстырмалы қозғалысын жақсы жуықтап көрсетеді, егер Шварцшильд массасы екі жеке массаның қосындысына тең болса және бұл жалпы салыстырмалылық теориясында екі жұлдыздардың қозғалысын болжауда маңызды.
In general relativity, Schwarzschild geodesics describe the motion of test particles in the gravitational field of a central fixed mass that is, motion in the Schwarzschild metric. Schwarzschild geodesics have been pivotal in the validation of Einstein's theory of general relativity. For example, they provide accurate predictions of the anomalous precession of the planets in the Solar System and of the deflection of light by gravity. Schwarzschild geodesics pertain only to the motion of particles of masses so small they contribute little to the gravitational field. However, they are highly accurate in many astrophysical scenarios provided that is many fold smaller than the central mass , e. g., for planets orbiting their star. Schwarzschild geodesics are also a good approximation to the relative motion of two bodies of arbitrary mass, provided that the Schwarzschild mass is set equal to the sum of the two individual masses and This is important in predicting the motion of binary stars in general relativity.
Тарихи контекст
Шварцшильд метрикасы оны ашқан Карл Шварцшильдтің құрметіне аталған, ол 1915 жылы Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясы жарияланғаннан кейін шамамен бір ай өткен соң осы шешімді тапты. Бұл Эйнштейннің өріс теңдеулерінің тривиальді жазық кеңістік шешімінен басқа алғашқы дәл шешімі болды. 1931 жылы Юсуке Хагихара Шварцшильд метрикасындағы сынақ бөлшегінің траекториясын эллипстік функциялар түрінде беруге болатындығын көрсеткен мақала жариялады. 1949 жылы Самуил Каплан Шварцшильд метрикасындағы дөңгелек орбитаның тұрақты болуы үшін ең төменгі радиус болу керектігін дәлелдеді.
Мүмкін орбиталардың түбірлері мен шолулары
Түбір – орбитадағы туынды нөлге тең болатын нүкте, яғни, осындай бұрылыс нүктесінде екінші туындының мәніне байланысты максимумға, минимумға немесе иіс нүктесіне жетеді, бұл формуламен беріледі. Егер барлық үш түбір нақты сан болса, екінші туынды тиісінше u1, u2 және u3 нүктелерінде оң, теріс және оң болады. Осыдан u мен φ арасындағы графиктің u1 мен u2 аралығында тербелісі немесе u3-ден шексізге қарай (бұл r-дің нөлге жақындауына сәйкес келеді) алыстауы мүмкін. Егер u1 теріс болса, тек "тербелістің" бір бөлігі ғана іске асады. Бұл шексізден келетін бөлшектің орталық массаға жақындасып, содан кейін классикалық шешімдегі гиперболалық траектория сияқты қайтадан шексізге қарай алыстауына сәйкес келеді. Егер бөлшектің энергиясы оның бұрыштық импульсіне дәл сай келсе, u2 және u3 бірігеді. Бұл жағдайда үш шешім бар. Орбита сол радиустан орталық нүктеге қарай спиральмен түсуі мүмкін, бұл радиус ішкі радиус деп аталады және ол аралығында, 3rs-тен кем болады. Сонымен қатар, егер болса, шеңберлік орбита пайда болады, бұл сыртқы радиус деп аталады. Орбитаның әртүрлі түрлері төменде талқыланады. Егер бөлшектің орталық массаға жеткілікті энергиясы және жеткілікті төмен бұрыштық импульсі болса, онда тек нақты болады. Бұл бөлшектің қара тесікке түсуіне сәйкес келеді. Орбита φ-ның шекті өзгеруімен спиральмен айналады.
If all three roots are distinct real numbers, the second derivative is positive, negative, and positive at u1, u2, and u3, respectively. It follows that a graph of u versus φ may either oscillate between u1 and u2, or it may move away from u3 towards infinity (which corresponds to r going to zero). If u1 is negative, only part of an "oscillation" will actually occur. This corresponds to the particle coming from infinity, getting near the central mass, and then moving away again toward infinity, like the hyperbolic trajectory in the classical solution. If the particle has just the right amount of energy for its angular momentum, u2 and u3 will merge. There are three solutions in this case. The orbit may spiral in to , approaching that radius as (asymptotically) a decreasing exponential in φ, , or Or one can have a circular orbit at that radius. Or one can have an orbit that spirals down from that radius to the central point. The radius in question is called the inner radius and is between and 3 times rs. A circular orbit also results when is equal to , and this is called the outer radius. These different types of orbits are discussed below. If the particle comes at the central mass with sufficient energy and sufficiently low angular momentum then only will be real. This corresponds to the particle falling into a black hole. The orbit spirals in with a finite change in φ.
Геодезиялық теңдеу
Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясына сәйкес, мардымсыз массасы бар бөлшектер кеңістік-уақыт бойынша геодезиялық сызықтармен қозғалады. Жазық кеңістік-уақытта, гравитациялық көзден алыс, бұл геодезиялық сызықтар тура сызықтарға сәйкес келеді; алайда, кеңістік-уақыт қисық болғанда олар тура сызықтардан ауытқуы мүмкін. Геодезиялық сызықтардың теңдеуі:
мұнда Γ – Кристоффель символын білдіреді, ал айнымалы бөлшектің кеңістік-уақыттағы жолын, оның әлемдік сызығы деп аталатын жолын параметрлейді. Кристоффель символы тек метрикалық тензорға немесе оның позицияға қатысты өзгеруіне ғана тәуелді. Айнымалы уақытқа ұқсас орбиталар үшін (массасы бар бөлшектермен жүретін), тиісті уақыттың тұрақты еселігі болып табылады және көбінесе оған тең деп есептеледі. Жарыққа ұқсас (немесе нөлдік) орбиталар үшін (фотон сияқты массасыз бөлшектермен жүретін), тиісті уақыт нөлге тең және, қатаң айтқанда, айнымалы ретінде қолданылмайды. Дегенмен, жарыққа ұқсас орбиталарды уақытқа ұқсас орбиталардың ультрарелятивистік лиміті ретінде алуға болады, яғни бөлшектің массасы m оның жалпы энергиясын тұрақты ұстай отырып, нөлге жақындағандағы лимит. Сондықтан, бөлшектің қозғалысын шешудің ең тікелей жолы – геодезиялық теңдеуді шешу, бұл тәсілді Эйнштейн және басқалар қолданды. Шварцшильд метрикасын былай жазуға болады:
мұнда екі функция және оның кері шамасы ықшамдық үшін анықталған. Осы метрикадан Кристоффель символдарын есептеуге болады, ал нәтижелер геодезиялық теңдеулерге қойылады:
Бұл төрт теңдеудің біріншісіне қою арқылы шешімнің дұрыс екені тексерілуі мүмкін. Симметрия бойынша орбита жазық болуы керек, және біз координаттар жүйесін экваторлық жазықтық орбита жазықтығы болатындай етіп орналастыруға болады. Бұл шешім екінші және төртінші теңдеулерді жеңілдетеді. Екінші және үшінші теңдеулерді шешу үшін оларды тиісінше және арқылы бөлу жеткілікті, бұл екі қозғалыс тұрақтысын береді.