Введение

Пути частиц в решении Шварцшильда уравнений поля Эйнштейна

В общей теории относительности, геодезические Шварцшильда описывают движение пробных частиц в гравитационном поле центрального фиксированного тела, то есть движение в метрике Шварцшильда. Геодезические Шварцшильда сыграли ключевую роль в проверке теории общей относительности Эйнштейна. Например, они обеспечивают точные предсказания аномальной прецессии планет в Солнечной системе и отклонения света в гравитационном поле. Геодезические Шварцшильда применимы только к движению частиц с массами, настолько малыми, что их вклад в гравитационное поле незначителен. Однако они обладают высокой точностью во многих астрофизических сценариях, при условии, что масса пробной частицы во много раз меньше массы центрального тела, например, для планет, обращающихся вокруг звезды. Геодезические Шварцшильда также являются хорошим приближением для описания относительного движения двух тел произвольной массы, если масса Шварцшильда приравнена к сумме двух индивидуальных масс. Это важно для предсказания движения двойных звезд в общей теории относительности.

Исторический контекст

Метрика Шварцшильда названа в честь её первооткрывателя Карла Шварцшильда, который нашёл решение в 1915 году, всего примерно через месяц после публикации теории общей относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений Эйнштейна, отличное от тривиального решения плоского пространства. В 1931 году Юсуке Хагихара опубликовал статью, в которой показал, что траектория пробной частицы в метрике Шварцшильда может быть выражена через эллиптические функции. Самуил Каплан в 1949 году показал, что существует минимальный радиус, при котором круговая орбита остаётся стабильной в метрике Шварцшильда.

Корни и обзор возможных орбит

Корень представляет собой точку орбиты, где производная обращается в ноль, то есть где . В такой поворотной точке достигает максимума, минимума или точки перегиба, в зависимости от значения второй производной, которая задается формулой. Если все три корня – различные действительные числа, то вторая производная положительна, отрицательна и положительна в точках u1, u2 и u3 соответственно. Следовательно, график зависимости u от φ может либо колебаться между u1 и u2, либо удаляться от u3 к бесконечности (что соответствует стремлению r к нулю). Если u1 отрицателен, то произойдет лишь часть "колебания". Это соответствует частице, приходящей из бесконечности, приближающейся к центральной массе, а затем снова удаляющейся в бесконечность, подобно гиперболической траектории в классическом решении. Если у частицы ровно столько энергии, сколько необходимо для ее углового момента, u2 и u3 сольются. В этом случае существует три решения. Орбита может спирально сходиться к , приближаясь к этому радиусу как (асимптотически) убывающая экспонента от φ, , или может существовать круговая орбита на этом радиусе. Либо орбита может спирально уходить от этого радиуса к центральной точке. Этот радиус называется внутренним радиусом и находится между и 3rs. Круговая орбита также возникает, когда равна , и это называется внешним радиусом. Эти различные типы орбит обсуждаются ниже. Если частица приближается к центральной массе с достаточной энергией и недостаточно высоким угловым моментом, то действительным будет только . Это соответствует падению частицы в черную дыру. Орбита спирально сходится с конечным изменением φ.

Геодезическое уравнение

Согласно теории относительности Эйнштейна, частицы пренебрежимо малой массы движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени. В плоском пространстве-времени, вдали от источника гравитации, эти геодезические соответствуют прямым линиям; однако они могут отклоняться от прямых линий при искривлении пространства-времени. Уравнение для геодезических линий имеет вид

где Γ обозначает символ Кристоффеля, а переменная параметризует траекторию частицы в пространстве-времени, её так называемую мировую линию. Символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора , а точнее – от его изменения в зависимости от положения. Переменная является постоянной кратной собственного времени для временноподобных орбит (по которым движутся массивные частицы) и обычно принимается равной ему. Для светоподобных (или нулевых) орбит (по которым движутся безмассовые частицы, такие как фотон) собственное время равно нулю и, строго говоря, не может быть использовано в качестве переменной. Тем не менее, светоподобные орбиты можно получить как ультрарелятивистский предел временноподобных орбит, то есть предел, при котором масса частицы m стремится к нулю при фиксированной полной энергии. Следовательно, для решения задачи о движении частицы наиболее прямой путь – решить геодезическое уравнение, подход, принятый Эйнштейном и другими. Метрика Шварцшильда может быть записана как

где две функции и их обратные величины определены для краткости. Из этой метрики можно вычислить символы Кристоффеля и подставить результаты в геодезические уравнения

Можно проверить, что является допустимым решением, подставив его в первое из этих четырех уравнений. По симметрии орбита должна быть плоской, и мы можем выбрать систему координат так, чтобы экваториальная плоскость совпадала с плоскостью орбиты. Это решение упрощает второе и четвертое уравнения. Для решения второго и третьего уравнений достаточно разделить их на и , соответственно, что дает две постоянные движения.