Кіріспе
Айнымалыларды ауыстыру бойынша полиномдық инвариант, жеке симметриялық полиномиалдар. Математикада симметриялық полиномиал – n айнымалыдағы P(X1, X2, ..., Xn) полиномиал, егер айнымалылардың кез келгенінің орны ауыстырылса, сол полиномиал алынады. Формальды түрде, P симметриялық полиномиал болады, егер 1, 2, ..., n индекстерінің кез келген пермутациясы σ үшін. Симметриялық полиномиалдар бір айнымалыдағы полиномның түбірлері мен оның коэффициенттері арасындағы байланысты зерттеуде табиғи түрде пайда болады, себебі коэффициенттерді түбірлер арқылы полиномиалдық өрнектермен беруге болады, және барлық түбірлер осы жағдайда бірдей рөл атқарады. Осы көзқарас бойынша, элементарлы симметриялық полиномиалдар ең негізгі симметриялық полиномиалдар болып табылады. Шындығында, симметриялық полиномиалдардың негізгі теоремасы деп аталатын теорема, кез келген симметриялық полиномиалды элементарлы симметриялық полиномиалдар арқылы өрнектеуге болады деп мәлімдейді. Бұл, монополиномның түбірлеріндегі кез келген симметриялық полиномиалдық өрнекті полиномның коэффициенттеріндегі полиномиалдық өрнек ретінде беруге болады дегенді білдіреді. Симметриялық полиномиалдар, сондай-ақ, полином түбірлерімен байланысқа тәуелсіз, өздері жеке қызықты құрылымды құрайды. Осы контексте, элементарлы полиномиалдармен қатар, толық гомогенді, қуаттық қосынды және Шур полиномиалдары сияқты басқа да симметриялық полиномиалдар жиынтығы да маңызды рөл атқарады. Нәтижесінде пайда болатын құрылымдар, әсіресе симметриялық функциялардың сақинасы, комбинаторикада және өкілдік теориясында зор маңызға ие.
individual symmetric polynomials
In mathematics, a symmetric polynomial is a polynomial P(X1, X2, , Xn) in n variables, such that if any of the variables are interchanged, one obtains the same polynomial. Formally, P is a symmetric polynomial if for any permutation σ of the subscripts 1, 2, , n one has
Symmetric polynomials arise naturally in the study of the relation between the roots of a polynomial in one variable and its coefficients, since the coefficients can be given by polynomial expressions in the roots, and all roots play a similar role in this setting. From this point of view the elementary symmetric polynomials are the most fundamental symmetric polynomials. Indeed, a theorem called the fundamental theorem of symmetric polynomials states that any symmetric polynomial can be expressed in terms of elementary symmetric polynomials. This implies that every symmetric polynomial expression in the roots of a monic polynomial can alternatively be given as a polynomial expression in the coefficients of the polynomial. Symmetric polynomials also form an interesting structure by themselves, independently of any relation to the roots of a polynomial. In this context other collections of specific symmetric polynomials, such as complete homogeneous, power sum, and Schur polynomials play important roles alongside the elementary ones. The resulting structures, and in particular the ring of symmetric functions, are of great importance in combinatorics and in representation theory.
Симетриялық көптіктердің ерекше түрлері
X1, X2, ..., Xn айнымалыларында негізгі симметриялық көптөлімдердің бірнеше түрі бар.
Шур полиномиялары
Симметриялық полиномиалдардың тағы бір класы – Шур полиномиалдары, олар симметриялық полиномиалдарды өкілдік теориясына қолдануда маңызды рөл атқарады. Дегенмен, оларды сипаттау басқа арнайы симметриялық полиномиалдарға қарағанда қиын; толық мәліметтер үшін негізгі мақаланы қараңыз.
Алгебрадағы симметриялық көптіктер
Симметриялық көптолғалар сызықтық алгебра, өкілдік теориясы және Галуа теориясы үшін маңызды. Олар комбинаторикада да маңызды, онда олар көбінесе симметриялық функциялар сақинасы арқылы зерттеледі, бұл үнемі айнымалылардың белгілі бір санын алып жүру қажеттілігінен құтылуға көмектеседі.
Бірін-бірі ауыстыратын көптіктер
Симметриялық полиномиалдарға ұқсас, ауыспалы полиномиалдар бар: кірістіктердің орналасуы өзгергенде, инвариантты болатын орнына, орналасудың таңбасына сәйкес өзгеретін полиномиалдар. Бұлардың бәрі Вандермонд полиномы мен симметриялық полиномның көбейтіндісі болып табылады және симметриялық полиномиалдар сақинасының квадраттық кеңейтуін құрайды: Вандермонд полиномы дискриминанттың квадрат түбірі болып табылады.