Введение
Полиномиальный инвариант относительно перестановок переменных
отдельные симметричные многочлены
В математике симметричный многочлен – это многочлен P(X1, X2, ..., Xn) от n переменных, который не изменяется при любой перестановке переменных. Формально, P является симметричным многочленом, если для любой перестановки σ индексов 1, 2, ..., n выполняется условие:
Симметричные многочлены возникают естественным образом при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами, поскольку коэффициенты можно представить в виде многочленных выражений от корней, и все корни играют схожую роль в данном контексте. С этой точки зрения элементарные симметричные многочлены являются наиболее фундаментальными. Действительно, теорема, называемая основной теоремой о симметричных многочленах, утверждает, что любой симметричный многочлен может быть выражен через элементарные симметричные многочлены. Это означает, что любое симметричное выражение, составленное из корней моникского многочлена, может быть альтернативно представлено как многочленное выражение от коэффициентов этого многочлена. Симметричные многочлены также представляют собой интересную структуру сами по себе, независимо от их связи с корнями многочлена. В этом контексте другие наборы специфических симметричных многочленов, такие как полные симметричные, многочлены степеней и многочлены Шура, играют важную роль наряду с элементарными. Получающиеся структуры, и в частности кольцо симметричных функций, имеют большое значение в комбинаторике и теории представлений.
individual symmetric polynomials
In mathematics, a symmetric polynomial is a polynomial P(X1, X2, , Xn) in n variables, such that if any of the variables are interchanged, one obtains the same polynomial. Formally, P is a symmetric polynomial if for any permutation σ of the subscripts 1, 2, , n one has
Symmetric polynomials arise naturally in the study of the relation between the roots of a polynomial in one variable and its coefficients, since the coefficients can be given by polynomial expressions in the roots, and all roots play a similar role in this setting. From this point of view the elementary symmetric polynomials are the most fundamental symmetric polynomials. Indeed, a theorem called the fundamental theorem of symmetric polynomials states that any symmetric polynomial can be expressed in terms of elementary symmetric polynomials. This implies that every symmetric polynomial expression in the roots of a monic polynomial can alternatively be given as a polynomial expression in the coefficients of the polynomial. Symmetric polynomials also form an interesting structure by themselves, independently of any relation to the roots of a polynomial. In this context other collections of specific symmetric polynomials, such as complete homogeneous, power sum, and Schur polynomials play important roles alongside the elementary ones. The resulting structures, and in particular the ring of symmetric functions, are of great importance in combinatorics and in representation theory.
Особые виды симметричных многочленов
Существует несколько основных типов симметричных многочленов относительно переменных X1, X2, ..., Xn.
Полиномы Шура
Другой класс симметричных многочленов составляют многочлены Шура, которые играют фундаментальную роль в применении симметричных многочленов к теории представлений. Однако их описание сложнее, чем описание других видов специальных симметричных многочленов; подробности см. в основной статье.
Симметричные полиномы в алгебре
Симметричные многочлены важны для линейной алгебры, теории представлений и теории Галуа. Они также важны в комбинаторике, где их в основном изучают с помощью кольца симметричных функций, что позволяет избежать постоянной работы с фиксированным числом переменных.
Сменные многочлены
Аналогично симметричным многочленам, существуют чередующиеся многочлены: многочлены, которые, в отличие от инвариантности при перестановке переменных, меняют знак в соответствии со знаком перестановки. Все они представляют собой произведения полинома Вандермонда и симметричного многочлена и образуют квадратичное расширение кольца симметричных многочленов: полином Вандермонда является квадратным корнем дискриминанта.