Группалық өкілдіктердің дуалдылығы

Кіріспе

Топтық өкілдік – математикалық ұғым. Математикада, егер G топ болса және ρ оның V векторлық кеңістіктегі сызықтық өкілдігі болса, онда ρ* екілік өкілдік V* екілік векторлық кеңістікте келесідей анықталады:

ρ*(g) = ρ(g^(−1))^(T), яғни барлық g ∈ G үшін ρ*(g) – ρ(g^(−1)) транспозі.

Екілік өкілдік контрагредиент өкілдігі деп те аталады. Егер 'g' – Ли алгебрасы болса және π – оның V векторлық кеңістіктегі өкілдігі болса, онда π* екілік өкілдік V* екілік векторлық кеңістікте келесідей анықталады:

π*(X) = −π(X)^(T), барлық X ∈ 'g' үшін. Бұл анықтаманың себебі – Ли тобының екілік өкілдігіне байланысты Ли алгебрасының өкілдігі жоғарыдағы формула бойынша есептеледі. Бірақ Ли алгебрасының екілік өкілдігінің анықтамасы Ли тобының өкілдігінен тумаса да, мағыналы. Екі жағдайда да екілік өкілдік – әдеттегі мағынадағы өкілдік.

Кемелденбеушілік және екінші қос

Егер (шекті өлшемді) өрнектеме толыққанды болса, онда оның қосарлы өрнектемесі де толыққанды болады, бірақ міндетті түрде бастапқы өрнектемеге изоморфты емес. Екінші жағынан, кез келген өрнектеменің қосарлысының қосарлысы бастапқы өрнектемеге изоморфты.

Бірыңғай бейнелеулер

Топтың бірлік өкілдігін қарастырайық, және ортонормалдық негізде жұмыс істейік. Осылайша, бірлік матрицалар тобына бейнеленеді. Екілік өкілдіктің анықтамасындағы абстрактті транспозиция қарапайым матрица транспозициясымен сәйкес келеді. Матрицаның түйіндес матрицасы – транспозицияның кешендік конъюгаты болғандықтан, транспозиция түйіндес матрицаның конъюгаты болады. Осылайша, - бұл кері матрицасының түйіндес матрицасының кешендік конъюгаты. Бірақ бірлік деп есептесек, кері матрицасының түйіндес матрицасы болады.
Осы талқылаудың мәні – ортонормалдық негізде бірлік өкілдіктерімен жұмыс істегенде, - бұл кешендік конъюгаты ғана.

SU(2) және SU(3) істерінде

SU(2) бейнелеу теориясында әрбiр азайтылмайтын бейнелеудің дуалы сол бейнелеуге изоморф болып шығады. Бірақ SU(3) бейнелеулері үшін, белгісі бар азайтылмайтын бейнелеудің дуалы белгісі бар азайтылмайтын бейнелеу болады. Атап айтқанда, SU(3) стандартты үш өлшемді бейнелеуі (ең жоғары салмағы бар) өзінің дуалына изоморф емес. Физика әдебиетіндегі кварктар теориясында стандартты бейнелеу және оның дуалы «» және «.» деп аталады.

Жалпы жартылай қарапайым Lie алгебралары

Жалпы алғанда, жартылай қарапайым Ли алгебраларының (немесе оған тығыз байланысты компактты Ли топтарының бейнелеу теориясында) қос бейнелеудің салмақтары бастапқы бейнелеудің салмақтарына тең қарамайтын шамалар болып табылады. (Суретті қараңыз.) Егер берілген Ли алгебрасы үшін оператор Вейл тобының мүшесі болса, онда кез келген бейнелеудің салмақтары автоматты түрде берілген түрлендіруде инвариант болады. Мұндай Ли алгебралары үшін кез келген ирредукцияланатын бейнелеу өзінің қос бейнелеуімен изоморфты болады. (Бұл Вейл тобы орналасқан SU(2) үшін жағдай.) Бұл қасиетке ие Ли алгебраларына тақ ортогональды Ли алгебралары (типі ) және симплектік Ли алгебралары (типі ) жатады. Егер берілген Ли алгебрасы үшін Вейл тобында болмаса, онда ирредукцияланатын бейнелеудің қос бейнелеуі, әдетте, бастапқы бейнелеуге изоморфты болмайды. Бұл қалай жұмыс істейтінін түсіну үшін, негізгі Вейл камерасының терісін негізгі Вейл камерасына бейімдейтін бірегей Вейл тобы мүшесінің әрқашан болатынын атап өтейік. Егер ең жоғары салмағы бар ирредукцияланатын бейнелеу болса, онда оның қос бейнелеуінің ең төменгі салмағы болады. Осыдан кейін қос бейнелеудің ең жоғары салмағы болады. Біз Вейл тобында емес деп есептегендіктен, ол тең бола алмайды, яғни түрлендіру сәйкестік емес. Әрине, кейбір ерекше жағдайларда , мысалы, қосымша бейнелеу әрқашан өзінің қос бейнелеуімен изоморфты болуы мүмкін. SU(3) (немесе оның күрделі алгебрасы, ) жағдайында 120 градус бұрышпен орналасқан екі түбірден тұратын базаны таңдауға болады, сондықтан үшінші оң түбір болады. Бұл жағдайда мүше перпендикуляр түзуге қатысты айналу болып табылады. Одан кейін түрлендіру түзуге қатысты айналу болады. Өз-өзіне қос бейнелеу болатын бейнелеулер осы түзу бойында жатады. Бұл салмақтары дұрыс алтыбұрыштар болатын бейнелеулер, атап айтқанда, түріндегі белгілері бар бейнелеулер.

More generally, in the representation theory of semisimple Lie algebras (or the closely related representation theory of compact Lie groups), the weights of the dual representation are the negatives of the weights of the original representation. (See the figure.) Now, for a given Lie algebra, if it should happen that operator is an element of the Weyl group, then the weights of every representation are automatically invariant under the map For such Lie algebras, every irreducible representation will be isomorphic to its dual. (This is the situation for SU(2), where the Weyl group is .) Lie algebras with this property include the odd orthogonal Lie algebras (type ) and the symplectic Lie algebras (type ). If, for a given Lie algebra, is not in the Weyl group, then the dual of an irreducible representation will generically not be isomorphic to the original representation. To understand how this works, we note that there is always a unique Weyl group element mapping the negative of the fundamental Weyl chamber to the fundamental Weyl chamber. Then if we have an irreducible representation with highest weight , the lowest weight of the dual representation will be It then follows that the highest weight of the dual representation will be Since we are assuming is not in the Weyl group, cannot be , which means that the map is not the identity. Of course, it may still happen that for certain special choices of , we might have The adjoint representation, for example, is always isomorphic to its dual. In the case of SU(3) (or its complexified Lie algebra, ), we may choose a base consisting of two roots at an angle of 120 degrees, so that the third positive root is In this case, the element is the reflection about the line perpendicular to Then the map is the reflection about the line through The self dual representations are then the ones that lie along the line through These are the representations with labels of the form , which are the representations whose weight diagrams are regular hexagons.

Жалпылау

Жалпы сақиналық модуль екілік өрнектемеге ие болмайды. Бірақ, Хопф алгебраларының модульдері ие болады.