Введение

Групповое представление – математическое понятие. В математике, если G – группа, а ρ – линейное представление этой группы на векторном пространстве V, то двойственное представление ρ* определяется на двойственном векторном пространстве V* следующим образом:

ρ*(g) является транспонированным к ρ(g⁻¹), то есть ρ*(g) = ρ(g⁻¹)ᵀ для всех g ∈ G.

Двойственное представление также известно как контравариантное представление. Если 'g' – алгебра Ли, а π – её представление на векторном пространстве V, то двойственное представление π* определяется на двойственном векторном пространстве V* следующим образом:

π*(X) = −π(X)ᵀ для всех X ∈ 'g'. Мотивация для этого определения заключается в том, что представление алгебры Ли, связанное с двойственным представлением группы Ли, вычисляется по указанной формуле. Однако определение двойственного представления алгебры Ли имеет смысл даже в том случае, если оно не происходит из представления группы Ли. В обоих случаях двойственное представление является представлением в обычном смысле.

Невосстанавливаемость и второй двойной

Если (конечномерное) представление является неразложимым, то двойственное представление также является неразложимым, но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, двойственное к двойственному любого представления изоморфно исходному представлению.

Единомерные представления

Рассмотрим унитарное представление группы и будем работать в ортонормальном базисе. Таким образом, отображение переводит элементы группы в группу унитарных матриц. Тогда абстрактная транспозиция в определении двойственного представления может быть отождествлена с обычной транспозицией матрицы. Поскольку сопряжённая матрица является комплексно сопряжённой к транспонированной, то транспонированная является комплексно сопряжённой к сопряжённой. Следовательно, является комплексно сопряжённой к сопряжённой обратной матрицы . Но поскольку предполагается, что матрица унитарна, то сопряжённая обратной матрицы просто равна . Итог этого обсуждения заключается в том, что при работе с унитарными представлениями в ортонормальном базисе, является просто комплексно сопряжённой к .

Дела SU(2) и SU(3)

В теории представлений SU(2), дуал каждого неприводимого представления действительно оказывается изоморфным представлению. Но для представлений SU(3), дуал неприводимого представления с меткой является неприводимым представлением с меткой . В частности, стандартное трехмерное представление SU(3) (с наивысшим весом) не изоморфно своему дуалу. В теории кварков в физической литературе стандартное представление и его дуальное называются "" и "".

Общие полупростые алгебры Ли

Более общо, в теории представлений полупростых алгебр Ли (или тесно связанной с ней теории представлений компактных групп Ли), веса двойственного представления являются отрицательными весами исходного представления. (Смотрите рисунок.) Теперь, для данной алгебры Ли, если оператор окажется элементом группы Вейля, то веса каждого представления автоматически инвариантны относительно преобразования . Для таких алгебр Ли каждое неприводимое представление будет изоморфно своему двойственному. (Это справедливо для SU(2), где группа Вейля равна .) Алгебры Ли, обладающие этим свойством, включают нечетные ортогональные алгебры Ли (тип ) и симплектические алгебры Ли (тип ). Если для данной алгебры Ли не принадлежит группе Вейля, то двойственное неприводимому представлению представление, как правило, не будет изоморфно исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, заметим, что всегда существует единственный элемент группы Вейля, отображающий отрицательную фундаментальную камеру Вейля в фундаментальную камеру Вейля. Тогда, если у нас есть неприводимое представление с наибольшим весом , наименьший вес двойственного представления будет , а следовательно, наибольший вес двойственного представления будет . Поскольку мы предполагаем, что не принадлежит группе Вейля, не может быть , что означает, что преобразование не является тождественным. Конечно, все еще может случиться, что для некоторых специальных выборов мы получим . Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному. В случае SU(3) (или ее комплексной алгебры Ли, ) мы можем выбрать базис, состоящий из двух корней под углом 120 градусов, так что третий положительный корень будет . В этом случае элемент является отражением относительно прямой, перпендикулярной , а преобразование – отражением относительно прямой, проходящей через . Самодвойственными представлениями, таким образом, являются те, которые лежат на прямой, проходящей через . Это представления с метками вида , чьи диаграммы весов представляют собой правильные шестиугольники.

Обобщение

Общий кольцевой модуль не имеет двойственного представления. Однако модули алгебр Хопфа допускают двойственное представление.