Кіріспе

Математикада, әсіресе матрицалар теориясында, жолақты матрица – нөлдік емес элементтері тек диагональ жолағында ғана орналасқан сирегірек матрица. Бұл диагональ жолағы негізгі диагональдан және оның екі жағындағы бір немесе бірнеше диагональдардан құралады.

Жазылу диапазоны

Формальды түрде n×n матрицаны қарастырайық A=(ai,j). Егер матрицаның барлық элементтері k1 және k2 тұрақтыларымен анықталатын диагональ бойындағы шектеулі жолақтың сыртында нөлге тең болса:

онда k1 және k2 шамалары тиісінше төменгі жолақтың ені және жоғарғы жолақтың ені деп аталады. Матрицаның жолақтығы – k1 және k2 шамаларының ең үлкені; яғни, егер .

Қолданбалар

Сандық талдауда, шекті элементтер немесе шекті айырмашылықтар есептеріндегі матрицалар көбінесе жолақты болады. Мұндай матрицаларды есеп айнымалылары арасындағы байланыстың сипаттамасы ретінде қарастыруға болады; жолақты қасиет айнымалылардың шексіз үлкен қашықтықта байланыспауымен сәйкес келеді. Мұндай матрицаларды тағы да бөлуге болады, мысалы, жолақты матрицалардың жолағындағы әрбір элемент нөлден өзгеше болуы мүмкін. Жоғары өлшемді есептер де жолақты матрицаларға алып келеді, онда жолақтың өзі де сиректеу болады. Мысалы, квадраттық домендегі (орталық айырмашылықтарды қолдана отырып) дербес дифференциалдық теңдеу матрицаның өлшемінің квадрат түбіріне тең ені бар матрицаны береді, бірақ жолақтың ішінде тек 5 диагональ нөлден өзгеше болады. Анық айтқанда, мұндай матрицаға Гаусс жою әдісін (немесе эквивалентті LU ыдырауын) қолданғанда жолақ көптеген нөлдік емес элементтермен толады.

Бөлшекті матрицалардың жолақты пішіні

Есептеу тұрғысынан алғанда, жолақты матрицалармен жұмыс істеу ұқсас өлшемді квадраттық матрицалармен жұмыс істеуге әрқашан артықшылықты болады. Жолақты матрицаның күрделілігі, жол өлшемдері жолақты матрицаның еніне тең болатын тікбұрышты матрицаның күрделілігімен салыстыруға болады. Осылайша, көбейту сияқты операцияларды орындауға қажетті еңбек айтарлықтай азаяды, бұл көбінесе есептеу уақыты мен күрделілігі тұрғысынан үлкен үнемдеуге алып келеді. Тығыз матрицаларға қарағанда, сирек матрицалар тиімді есептеуді және компьютерлік жадты тиімді пайдалануды қамтамасыз етеді, сондықтан матрицаға пермутацияларды немесе басқа да эквивалентті немесе ұқсас түрлендірулерді қолдану арқылы жолақтықты (немесе тікелей толтыруды) азайтудың жолдарын табуға көп зерттеулер бағытталған. Кьютилл-Макки алгоритмі сирек симметриялық матрицаның жолақтығын азайту үшін қолданылуы мүмкін. Дегенмен, кері Кьютилл-Макки алгоритмі жақсы нәтиже беретін матрицалар да бар. Тағы да көптеген әдістер қолданылады. Жолдар мен бағандардың пермутациясы арқылы ең кіші жолақтылыққа ие матрицаның бейнесін табу мәселесі NP-қиын болып табылады.