Кіріспе

Категория теориясындағы объект. Математикада моноидтік категориядағы коммутативтілік шектеуі – "табиғи отбасы" құрайтын А және В объектілерінің әрбір жұбы үшін изоморфизмнің таңдалуы. Атап айтқанда, коммутативтілік шектеуіне ие болу үшін, барлық объектілер жұптары үшін осы шарт орындалуы керек. Тоқылған моноидтік категория – бұл тоқылған, яғни төмендегі алтыбұрышты тепе-теңдіктерді қоса алғанда, аксиомаларды қанағаттандыратын коммутативтілік шектеуімен жабдықталған моноидтік категория. "Тоқылған" термині тоқылған топтың тоқылған моноидтік категориялар теориясында маңызды рөл атқаратынын көрсетеді. Осы себепті, тоқылған моноидтік категориялар және басқа да тақырыптар түйін инварианттарының теориясымен байланысты. Сондай-ақ, тоқылған моноидтік категориясын бір 0 және бір 1 ұяшығы бар трикатегория ретінде қарастыруға болады. Тоқылған моноидтік категориялар Андре Джоял мен Росс Стрит тарапынан 1986 жылы жарияланбас бұрынғы нұсқада енгізілген. Бұл жұмыстың өңделген нұсқасы 1993 жылы жарияланды.

Бірлестік

Табиғи изоморфизм және категориядағы моноиділдік құрылымнан туындайтын карталар әр түрлі құрылымдық карталардың әр түрлі композицияларының теңдігін көрсететін әр түрлі үйлесімділік шарттарын қанағаттандыратынын көрсетуге болады. Атап айтқанда:

Өру бірліктермен коммутациялайды. Яғни, келесі диаграмма коммутативті:

-ның n-еселік тензорлық көбейтіндісіне әсері өру тобы арқылы факторланады. Атап айтқанда,

карталар ретінде. Біз ассоциаторлық карталарды есепке алмадық.

Вариациялар

Түрлі жағдайларда қолданылатын тоқыма моноидтық категориялардың бірнеше түрі бар. Мысалы, симметриялық және кобундерлі моноидтық категориялардың түсіндірмесі үшін Сэвиджтің (2009) мақаласына, ал ленталық категориялар туралы ақпарат үшін Шари мен Преслидің (1995) кітабына қараңыз.

Симметриялық моноидалдық санаттар

Тоқылған моноиділ категория симметриялық деп аталады, егер ол барлық нысандар жұптары үшін де орындалса. Бұл жағдайда тензорлық көбейтіндіге симметриялық топтың әрекеті түсіріледі.

Таспаның санаттары

Тоқылған моноидты категория қатаң болса, ол ленталық категория болып есептеледі және кванттық із бен коқванттық ізді сақтау мүмкіндігіне ие. Ленталық категориялар түйін инварианттарын құруда ерекше пайдалы.

Мысалдар

Топтың (немесе Лай алгебрасының) өрнектеу санаты – симметриялық моноидтік санаты, онда квантталған әмбебап орау алгебрасының өрнектеу санаты – өрілген моноидтік санаты, онда ол әмбебап R матрицасын қолдана отырып құрастырылады. Шындығында, бұл мысал да ленталық санаты болып табылады.

Қолданбалар

Тораптың инварианттары. Симметриялық жабық моноидалдық санаттар сызықтық логика мен сызықтық типтердің денотациялық модельдерінде қолданылады. Топологиялық реттелген кванттық жүйелерді сипаттау және жіктеу.