Введение
В теории категорий, ограничение коммутативности на моноидальной категории – это выбор изоморфизма для каждой пары объектов A и B, образующих "естественное семейство". В частности, для наличия ограничения коммутативности требуется, чтобы оно было определено для всех пар объектов. Плетёная моноидальная категория – это моноидальная категория, снабжённая плетением, то есть ограничением коммутативности, удовлетворяющим аксиомам, включая нижеопределённые тождества шестиугольника. Термин "плетёная" отражает важную роль группы кос в теории плетёных моноидальных категорий. Отчасти поэтому плетёные моноидальные категории и связанные с ними темы изучаются в теории инвариантов узлов. Альтернативно, плетёную моноидальную категорию можно рассматривать как трикатегорию с одной 0-ячейкой и одной 1-ячейкой. Плетёные моноидальные категории были введены Андре Жуалем и Россом Стритом в препринте 1986 года, а модифицированная версия этой работы была опубликована в 1993 году.
In mathematics, a commutativity constraint on a monoidal category is a choice of isomorphism for each pair of objects A and B which form a "natural family." In particular, to have a commutativity constraint, one must have for all pairs of objects
A braided monoidal category is a monoidal category equipped with a braiding—that is, a commutativity constraint that satisfies axioms including the hexagon identities defined below. The term braided references the fact that the braid group plays an important role in the theory of braided monoidal categories. Partly for this reason, braided monoidal categories and other topics are related in the theory of knot invariants. Alternatively, a braided monoidal category can be seen as a tricategory with one 0 cell and one 1 cell. Braided monoidal categories were introduced by André Joyal and Ross Street in a 1986 preprint. A modified version of this paper was published in 1993.
Соответствие
Можно показать, что естественный изоморфизм вместе с отображениями, вытекающими из моноидальной структуры на категории , удовлетворяют различным условиям когерентности, которые утверждают, что различные композиции структурных отображений равны. В частности:
Оплетение коммутирует с единицами. То есть, следующая диаграмма коммутативна:
Действие на -кратного тензорного произведения факторизуется через группу кос. В частности,
как отображения. Здесь мы опустили ассоциативные отображения.
Вариации
Существует несколько вариантов косических моноидальных категорий, которые используются в различных областях. См., например, обзорную статью Сэвиджа (2009) для объяснения симметричных и кограничных моноидальных категорий, а также книгу Шари и Прессли (1995) для ленточных категорий.
Симметричные моноидольные категории
Плетёная моноидальная категория называется симметричной, если она также удовлетворяет условию для всех пар объектов и . В этом случае действие на -кратном тензорном произведении факторизуется через симметрическую группу.
Категории ленты
Моноидная категория с плетением является ленточной категорией, если она является строгой, и может сохранять квантовый след и ко-квантовый след. Ленточные категории особенно полезны при построении инвариантов узлов.
Примеры
Категория представлений группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией, где. Категория представлений квантованной универсальной обволакивающей алгебры является плетеной моноидальной категорией, где, и строится с использованием универсальной R-матрицы. Фактически, этот пример также является ленточной категорией.
Приложения
Инварианты узлов. Симметричные замкнутые моноидальные категории используются в денотационных моделях линейной логики и линейных типов. Описание и классификация топологически упорядоченных квантовых систем.