Максималды топтар математикадағы маңызды ұғым. Топтар теориясында, максималды топтар примитивті өрнектемелермен байланысты. Семигрупптарда да зерттеледі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикадағы термин
Term in mathematics
Математикада максималды кіші топ термині алгебраның түрлі салаларында сәл әртүрлі мағыналарда қолданылады. Топтар теориясында, G тобының H максималды кіші тобы – бұл G-ге тең емес, дұрыс кіші топ, сондықтан H-ны қамтитын басқа дұрыс кіші топ K болмайды. Басқаша айтқанда, H – G тобының G-ге тең емес кіші топтарының ішінара реттелген жиынындағы максималды элемент. Максималды кіші топтар G-нің примитивті пермутациялық өрнектемелерімен тікелей байланысы болғандықтан қызығушылық тудырады. Олар шекті топтар теориясы үшін де көп зерттеледі, мысалы, Фраттини кіші тобы, максималды кіші топтардың қиылысы. Жартылай топтар теориясында, S жартылай тобының максималды кіші тобы – бұл S-тің басқа кіші тобында дұрыс қамтылмаған кіші топ (яғни, жартылай топ операциясы бойынша топ құрайтын кіші топ). Атап айтқанда, мұнда максималды кіші топтың дұрыс болуы талап етілмейді, сондықтан егер S шын мәнінде топ болса, онда оның жартылай топ ретіндегі бірегей максималды кіші тобы – өзінің S тобы. Жартылай топтардың кіші топтарын, әсіресе максималды кіші топтарын қарастыру, жартылай топтар теориясында топтар теориялық әдістерді қолдануға көбінесе мүмкіндік береді. Жартылай топтың идемпотентті элементтері мен жартылай топтың максималды кіші топтары арасында бір-бірге сәйкестік бар: әрбір идемпотентті элемент – бірегей максималды кіші топтың бірлік элементі болып табылады.
In mathematics, the term maximal subgroup is used to mean slightly different things in different areas of algebra. In group theory, a maximal subgroup H of a group G is a proper subgroup, such that no proper subgroup K contains H strictly. In other words, H is a maximal element of the partially ordered set of subgroups of G that are not equal to G. Maximal subgroups are of interest because of their direct connection with primitive permutation representations of G. They are also much studied for the purposes of finite group theory: see for example Frattini subgroup, the intersection of the maximal subgroups. In semigroup theory, a maximal subgroup of a semigroup S is a subgroup (that is, a subsemigroup which forms a group under the semigroup operation) of S which is not properly contained in another subgroup of S. Notice that, here, there is no requirement that a maximal subgroup be proper, so if S is in fact a group then its unique maximal subgroup (as a semigroup) is S itself. Considering subgroups, and in particular maximal subgroups, of semigroups often allows one to apply group theoretic techniques in semigroup theory. There is a one to one correspondence between idempotent elements of a semigroup and maximal subgroups of the semigroup: each idempotent element is the identity element of a unique maximal subgroup.
Максималды кіші топтың болуы
Шекті топтың кез келген дұрыс кіші тобы кейбір максималды кіші топқа кіреді, себебі дұрыс кіші топтар кірігу бойынша шекті жартылай реттелген жиынды құрайды. Дегенмен, шексіз абельдік топтар да бар, оларда максималды кіші топтар жоқ, мысалы, Пруфер тобы.
Any proper subgroup of a finite group is contained in some maximal subgroup, since the proper subgroups form a finite partially ordered set under inclusion. There are, however, infinite abelian groups that contain no maximal subgroups, for example the Prüfer group.
Ең жоғары нормальды субтоп
Сол сияқты, G тобының N қалыпты кіші тобы, егер N < G болса және N < K < G болатын G тобының K қалыпты кіші тобы болмаса, G-дің максималды қалыпты кіші тобы (немесе максималды дұрыс қалыпты кіші тобы) деп аталады. Бізде мынадай теорема бар:
Similarly, a normal subgroup N of G is said to be a maximal normal subgroup (or maximal proper normal subgroup) of G if N < G and there is no normal subgroup K of G such that N < K < G. We have the following theorem:
Теорема: G тобының N қалыпты кіші тобы, G/N коэффициенті қарапайым болса және тек сонда ғана максималды қалыпты кіші топ болады.
Theorem: A normal subgroup N of a group G is a maximal normal subgroup if and only if the quotient G/N is simple.
Хассе диаграммалары
Бұл Хассе диаграммалары симметриялық топ S4, диэдрлік топ D4 және циклдік топ C2-нің үшінші тікелей дәрежесі C23-тің кіші топтарының торларын көрсетеді. Максималды кіші топтар топтың өзімен (Хассе диаграммасының жоғарғы жағында) Хассе диаграммасының қабырғасы арқылы байланыстырылған.
These Hasse diagrams show the lattices of subgroups of the symmetric group S4, the dihedral group D4, and C23, the third direct power of the cyclic group C2. The maximal subgroups are linked to the group itself (on top of the Hasse diagram) by an edge of the Hasse diagram.