Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Термин в математике
Term in mathematics
В математике термин "максимальная подгруппа" используется для обозначения несколько различных понятий в разных областях алгебры. В теории групп максимальная подгруппа H группы G — это собственная подгруппа, такая что никакая собственная подгруппа K не содержит H строго. Иными словами, H является максимальным элементом частично упорядоченного множества подгрупп G, не равных G. Максимальные подгруппы представляют интерес благодаря их прямой связи с примитивными перестановками G. Они также интенсивно изучаются в теории конечных групп, например, в связи с подгруппой Фраттини и пересечением максимальных подгрупп. В теории полугрупп максимальная подгруппа полугруппы S — это подгруппа (то есть подполугруппа, образующая группу относительно операции полугруппы) S, которая не содержится строго в другой подгруппе S. Следует отметить, что здесь не требуется, чтобы максимальная подгруппа была собственной, поэтому, если S является группой, то её единственная максимальная подгруппа (как полугруппа) — это сама S. Рассмотрение подгрупп, и в частности максимальных подгрупп, полугрупп часто позволяет применять методы теории групп в теории полугрупп. Существует взаимно однозначное соответствие между идемпотентными элементами полугруппы и максимальными подгруппами полугруппы: каждый идемпотентный элемент является нейтральным элементом единственной максимальной подгруппы.
In mathematics, the term maximal subgroup is used to mean slightly different things in different areas of algebra. In group theory, a maximal subgroup H of a group G is a proper subgroup, such that no proper subgroup K contains H strictly. In other words, H is a maximal element of the partially ordered set of subgroups of G that are not equal to G. Maximal subgroups are of interest because of their direct connection with primitive permutation representations of G. They are also much studied for the purposes of finite group theory: see for example Frattini subgroup, the intersection of the maximal subgroups. In semigroup theory, a maximal subgroup of a semigroup S is a subgroup (that is, a subsemigroup which forms a group under the semigroup operation) of S which is not properly contained in another subgroup of S. Notice that, here, there is no requirement that a maximal subgroup be proper, so if S is in fact a group then its unique maximal subgroup (as a semigroup) is S itself. Considering subgroups, and in particular maximal subgroups, of semigroups often allows one to apply group theoretic techniques in semigroup theory. There is a one to one correspondence between idempotent elements of a semigroup and maximal subgroups of the semigroup: each idempotent element is the identity element of a unique maximal subgroup.
Существование максимальной подгруппы
Любая собственная подгруппа конечной группы содержится в некоторой максимальной подгруппе, поскольку собственные подгруппы образуют конечное частично упорядоченное множество по отношению к включению. Однако существуют бесконечные абелевы группы, не содержащие максимальных подгрупп, например, группа Пруфера.
Any proper subgroup of a finite group is contained in some maximal subgroup, since the proper subgroups form a finite partially ordered set under inclusion. There are, however, infinite abelian groups that contain no maximal subgroups, for example the Prüfer group.
Максимальная нормальная подгруппа
Аналогично, нормальная подгруппа N группы G называется максимальной нормальной подгруппой (или максимальной собственной нормальной подгруппой) G, если N < G и не существует нормальной подгруппы K группы G, такой что N < K < G. Имеем следующую теорему:
Similarly, a normal subgroup N of G is said to be a maximal normal subgroup (or maximal proper normal subgroup) of G if N < G and there is no normal subgroup K of G such that N < K < G. We have the following theorem:
Теорема: Нормальная подгруппа N группы G является максимальной нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда факторгруппа G/N проста.
Theorem: A normal subgroup N of a group G is a maximal normal subgroup if and only if the quotient G/N is simple.
Диаграммы Хассе
На этих диаграммах Хассе изображены решетки подгрупп симметрической группы S4, диэдрической группы D4 и C23, то есть третьей прямой степени циклической группы C2. Максимальные подгруппы соединены с самой группой (расположенной в верхней части диаграммы Хассе) ребром диаграммы Хассе.
These Hasse diagrams show the lattices of subgroups of the symmetric group S4, the dihedral group D4, and C23, the third direct power of the cyclic group C2. The maximal subgroups are linked to the group itself (on top of the Hasse diagram) by an edge of the Hasse diagram.