Кіріспе
Геометрия теоремасы
Математикада Паппустың алтыбұрышты теоремасы (Александриялық Паппусқа жатқызылады) бір қатар коллинеарлық нүктелер және тағы бір қатар коллинеарлық нүктелер берілген жағдайда, сызық жұптарының қиылысу нүктелері және және және коллинеар болады, яғни Паппус сызығында жатады. Бұл үш нүкте алтыбұрыштың "қарсы" қабырғаларының қиылысу нүктелері болып табылады. Бұл теорема кез келген өріс үстіндегі проективтік жазықтықта орындалады, бірақ кез келген коммутативті емес бөліну сақинасы үстіндегі проективтік жазықтықтар үшін жарамсыз. "Теорема" дұрыс болатын проективтік жазықтықтар паппиан жазықтықтары деп аталады. Егер тек сипатталған, бірақ қабырғалары және параллель, ал қабырғалары және параллель болатын (сонда Паппус сызығы шексіздіктегі сызық болады) алтыбұрышты қамтитын паппиан жазықтығын қарастырсақ, онда екінші суретте көрсетілген Паппус теоремасының аффиндік түрін аламыз. Егер Паппус сызығы және сызықтары ортақ нүктеге ие болса, онда Паппус теоремасының кіші нұсқасы деп аталады. Бұл инциденттік теореманың дуалы былай тұжырымдайды: егер бір қатардағы түзулер және тағы бір қатардағы түзулер берілген болса, онда қиылысу жұптарынан алынған нүктелер жұптарымен анықталатын түзулер және және және бір нүктеде қиылысады. (Бір нүктеде қиылысады дегеніміз, түзулер бір нүктеден өтеді дегенді білдіреді.) Паппус теоремасы Паскаль теоремасының коника үшін ерекше жағдайы болып табылады, яғни коника екі түзуге дейін дегенерацияланғандағы шекті жағдай. Паскаль теоремасы өз кезегінде Кейли-Бахарах теоремасының ерекше жағдайы болып табылады. Паппус конфигурациясы – Паппус теоремасында кездесетін 9 түзу және 9 нүктеден тұратын конфигурация, онда әр түзу 3 нүктеден өтеді және әр нүкте 3 түзуде жатады. Жалпы жағдайда, Паппус сызығы және нүктесінің қиылысу нүктесінен өтпейді. Бұл конфигурация өзіне-өзі дуалды. Атап айтқанда, түзулер дуалды теореманың түзулерінің қасиеттеріне ие болғандықтан және нүктелерінің коллинеарлығы нүктелерінің бірдейлігіне тең болғандықтан, дуалды теореманың өзімен бірдей. Паппус конфигурациясының Леви графигі Паппус графигі болып табылады, ол 18 төбесі және 27 қабырғасы бар екі бөліктік қашықтық реттелген граф.
given one set of collinear points and another set of collinear points then the intersection points of line pairs and and and are collinear, lying on the Pappus line. These three points are the points of intersection of the "opposite" sides of the hexagon
It holds in a projective plane over any field, but fails for projective planes over any noncommutative division ring. Projective planes in which the "theorem" is valid are called pappian planes. If one considers a pappian plane containing a hexagon as just described but with sides and parallel and also sides and parallel (so that the Pappus line is the line at infinity), one gets the affine version of Pappus's theorem shown in the second diagram. If the Pappus line and the lines have a point in common, one gets the so called little version of Pappus's theorem. The dual of this incidence theorem states that given one set of concurrent lines , and another set of concurrent lines , then the lines defined by pairs of points resulting from pairs of intersections and and and are concurrent. (Concurrent means that the lines pass through one point.) Pappus's theorem is a special case of Pascal's theorem for a conic—the limiting case when the conic degenerates into 2 straight lines. Pascal's theorem is in turn a special case of the Cayley–Bacharach theorem. The Pappus configuration is the configuration of 9 lines and 9 points that occurs in Pappus's theorem, with each line meeting 3 of the points and each point meeting 3 lines. In general, the Pappus line does not pass through the point of intersection of and This configuration is self dual. Since, in particular, the lines have the properties of the lines of the dual theorem, and collinearity of is equivalent to concurrence of , the dual theorem is therefore just the same as the theorem itself. The Levi graph of the Pappus configuration is the Pappus graph, a bipartite distance regular graph with 18 vertices and 27 edges.
Дәлел: аффиналық нысан
Егер мәлімдеменің аффиндік түрін дәлелдеу мүмкін болса, онда Паппус теоремасының проективтік түрі дәлелденеді, өйткені паппиан жазықтығының проективтік жазықтыққа кеңейтілуі бірегей. Аффиндік жазықтықтағы параллельдік қатынасынан екі жағдайды қарастыру қажет: және. Жай дәлелдеудің кілті – "қолайлы" координаттар жүйесін енгізу мүмкіндігі:
Case 1: The lines intersect at point In this case coordinates are introduced, such that (see diagram). have the coordinates
From the parallelity of the lines one gets and the parallelity of the lines yields Hence line has slope and is parallel line
Case 2: (little theorem). In this case the coordinates are chosen such that From the parallelity of and one gets and , respectively, and at least the parallelity .
1-жағдай: Түзулер нүктесінде қиылысады. Бұл жағдайда координаттар осылай етіп енгізіледі, (схеманы қараңыз). Осыдан түзудің параллельдігінен және түзудің параллельдігінен шығады. Сондықтан түзудің еңісі тең болады және түзуге параллель болады.
Case 1: The lines intersect at point In this case coordinates are introduced, such that (see diagram). have the coordinates
From the parallelity of the lines one gets and the parallelity of the lines yields Hence line has slope and is parallel line
Case 2: (little theorem). In this case the coordinates are chosen such that From the parallelity of and one gets and , respectively, and at least the parallelity .
2-жағдай: (кішкентай теорема). Бұл жағдайда координаттар осылай таңдалады, . және түзулерінің параллельдігінен және сәйкесінше, және кем дегенде параллельдік алынады.
Case 1: The lines intersect at point In this case coordinates are introduced, such that (see diagram). have the coordinates
From the parallelity of the lines one gets and the parallelity of the lines yields Hence line has slope and is parallel line
Case 2: (little theorem). In this case the coordinates are chosen such that From the parallelity of and one gets and , respectively, and at least the parallelity .