Теорема Паппа о шестиугольнике

Введение

Теорема геометрии

В математике теорема Паппуса о шестиугольнике (приписывается Паппусу Александрийскому) утверждает, что если даны один набор коллинеарных точек и другой набор коллинеарных точек, то точки пересечения пар прямых и и и коллинеарны, лежа на линии Паппуса. Эти три точки являются точками пересечения "противоположных" сторон шестиугольника. Теорема верна для проективной плоскости над любым полем, но не выполняется для проективных плоскостей над любым некоммутативным полем с делением. Проективные плоскости, в которых теорема справедлива, называются паппианскими плоскостями. Если рассмотреть паппианскую плоскость, содержащую шестиугольник, как описано выше, но со сторонами и параллельными, а также сторонами и параллельными (так что линия Паппуса является линией на бесконечности), то получается аффинная версия теоремы Паппуса, показанная на второй диаграмме. Если линия Паппуса и прямые имеют общую точку, то получается так называемая малая версия теоремы Паппуса. Двойственная теорема об инцидентности утверждает, что если даны один набор пересекающихся прямых и другой набор пересекающихся прямых, то прямые, определяемые парами точек, полученными из пар пересечений и и и, также пересекаются. (Пересекающиеся означает, что прямые проходят через одну точку.) Теорема Паппуса является частным случаем теоремы Паскаля для конического сечения — предельный случай, когда коническое сечение вырождается в две прямые. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кейли — Бакараха. Конфигурация Паппуса — это конфигурация из 9 прямых и 9 точек, которая возникает в теореме Паппуса, причем каждая прямая пересекает 3 точки, а каждая точка лежит на 3 прямых. В общем случае линия Паппуса не проходит через точку пересечения и. Эта конфигурация самодвойственна. Поскольку, в частности, прямые обладают свойствами прямых двойственной теоремы, а коллинеарность эквивалентна пересечению, двойственная теорема, следовательно, идентична самой теореме. Граф Леви конфигурации Паппуса — это граф Паппуса, двудольный регулярный граф расстояния с 18 вершинами и 27 ребрами.

In mathematics, Pappus's hexagon theorem (attributed to Pappus of Alexandria) states that
given one set of collinear points and another set of collinear points then the intersection points of line pairs and and and are collinear, lying on the Pappus line. These three points are the points of intersection of the "opposite" sides of the hexagon
It holds in a projective plane over any field, but fails for projective planes over any noncommutative division ring. Projective planes in which the "theorem" is valid are called pappian planes. If one considers a pappian plane containing a hexagon as just described but with sides and parallel and also sides and parallel (so that the Pappus line is the line at infinity), one gets the affine version of Pappus's theorem shown in the second diagram. If the Pappus line and the lines have a point in common, one gets the so called little version of Pappus's theorem. The dual of this incidence theorem states that given one set of concurrent lines , and another set of concurrent lines , then the lines defined by pairs of points resulting from pairs of intersections and and and are concurrent. (Concurrent means that the lines pass through one point.) Pappus's theorem is a special case of Pascal's theorem for a conic—the limiting case when the conic degenerates into 2 straight lines. Pascal's theorem is in turn a special case of the Cayley–Bacharach theorem. The Pappus configuration is the configuration of 9 lines and 9 points that occurs in Pappus's theorem, with each line meeting 3 of the points and each point meeting 3 lines. In general, the Pappus line does not pass through the point of intersection of and This configuration is self dual. Since, in particular, the lines have the properties of the lines of the dual theorem, and collinearity of is equivalent to concurrence of , the dual theorem is therefore just the same as the theorem itself. The Levi graph of the Pappus configuration is the Pappus graph, a bipartite distance regular graph with 18 vertices and 27 edges.

Доказательство: аффинальная форма

Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то доказана и проективная форма теоремы Паппа. Это связано с тем, что расширение паппианской плоскости до проективной плоскости единственно. Из-за параллельности в аффинной плоскости необходимо рассмотреть два случая: и . Ключом к простому доказательству является возможность введения "подходящей" системы координат:

Случай 1: Линии пересекаются в точке . В этом случае вводятся координаты таким образом, что (см. диаграмму). Линии имеют координаты . Из параллельности линий следует , а из параллельности линий следует . Следовательно, линия имеет наклон и параллельна линии .

Случай 2: (малая теорема). В этом случае координаты выбираются таким образом, что . Из параллельности и следует , а из параллельности и следует , соответственно, и, по крайней мере, параллельность .