Кіріспе

Итеративті алгоритм
Сандар теориясында Капрекар әдісі – үнді математигі Д. Р. Капрекардың есімімен аталған итеративті алгоритм. Әрбір итерацияда саннан бастап, цифрларды төмендеу және жоғарылау ретімен сұрыптап, екі жаңа санның арасындағы айырманы есептеу жүргізіледі. Мысалы, 10-дық санау жүйесінде 8991 санынан бастасақ:

1 = 9981 – 1899 = 8082
1 = 8820 – 0288 = 8532
1 = 8532 – 2358 = 6174
1 = 7641 – 1467 = 6174

6174 саны, Капрекар тұрақтысы деп белгілі, осы алгоритмнің бекітілген нүктесі болып табылады. Кез келген төрт таңбалы сан (10-дық санау жүйесінде), ең болмағанда екі түрлі таңбасы бар болса, жеті итерация ішінде 6174 санына жетеді. Алгоритм кез келген сандық базадағы кез келген натурал сан үшін қолданылады.

Капрекар тұрақтыларының отбасылары

4-базада 3021, 310221, 31102221, 3 111 02 222 1 сияқты сандардың барлығы (мұнда "1" тізбегінің ұзындығы мен "2" тізбегінің ұзындығы тең) Капрекар бейнелеуінің тұрақты нүктелері екенін оңай көрсетуге болады. 10-базада 6174, 631764, 63317664, 6 333 17 666 4 сияқты сандардың барлығы (мұнда "3" тізбегінің ұзындығы мен "6" тізбегінің ұзындығы тең) Капрекар бейнелеуінің тұрақты нүктелері екенін оңай көрсетуге болады.

Ұзындығы үш цифрлы сандар

Егер Капрекар процедурасы 10-дық санау жүйесіндегі үш таңбалы сандарға қолданылса, нәтижедегі тізбек көбінесе ең көп дегенде алты итерацияда 495 мәніне жуықтасады, бірақ кішкентай бастапқы сандар жиыны 0-ге жуықтасады, мысалы 211. Дегенмен, Капрекардың түпкілікті формуласында басты нөлдер сақталады, және 111 немесе 222 сияқты бірдей цифрлардан құралған сандар ғана нөлге өтеді. Төменде ағын диаграммасы келтірілген. Басты нөлдер сақталады, алайда басты нөлдер алынып тасталғанда, 099 нөмірі 891 нөміріне байланыстырылмай, 99 нөмірі 0 нөміріне байланыстырылады.

Басқа сандық ұзындығы

Үш немесе төрт (ондық санау жүйесінде) цифрдан басқа цифр ұзындығы үшін, алгоритм бірнеше белгілі нүктелердің бірінде тоқтауы мүмкін немесе бастапқы мәніне байланысты бірнеше циклдің біріне түсуі мүмкін. Кейде осы сандар (495, 6174 және басқа цифр ұзындығындағы немесе ондық санау жүйесінен басқа негіздердегі оларға сәйкес келетін сандар) Пейуш Диксит есімімен аталатын "Пейуш тұрақтылары" деп аталады, ол осы алгоритмді 2000 жылғы Халықаралық математикалық олимпиаданың (IMO 2000) диссертациясының бір бөлігі ретінде шешкен.