Кіріспе
Үш өлшемді кеңістікте үш айнымалының имплицитті функциясымен анықталған бет. Математикада имплицитті бет – Эвклид кеңістігінде теңдеу арқылы анықталатын бет. Имплицитті бет – үш айнымалы функцияның нөлдер жиыны. Имплицитті дегеніміз, теңдеу x, y немесе z үшін шешілмегендігін білдіреді. Функцияның графигі әдетте теңдеу арқылы сипатталады және бұл айқын бейнелеу деп аталады. Беттің үшінші маңызды сипаттамасы – параметрлік сипаттама: , мұнда беттің x, y және z координаттары ортақ параметрлерге тәуелді үш функциямен көрсетіледі. Әдетте, бейнелеудің өзгеруі тек айқын бейнелеу берілген кезде ғана оңай: (имплицитті), (параметрлік). Мысалдар: жазықтық, сфера, тор. 2 туыстың беті (суретті қараңыз). Айналу беті (шарап көпіршігінің суретін қараңыз). Жазықтық, сфера және тор үшін қарапайым параметрлік бейнелеулер бар. Бұл төртінші мысалға қатысты емес. Имплицитті функция теоремасы теңдеудің x, y немесе z үшін (кем дегенде имплицитті түрде) шешілуі мүмкін жағдайларды сипаттайды. Бірақ, жалпы жағдайда, шешімді нақты көрсету мүмкін болмайды. Бұл теорема – беттің маңызды геометриялық ерекшеліктерін есептеудің кілті: жанама жазықтықтар, беттік нормальдар, қисықтықтар (төменде қараңыз). Бірақ олардың бір кемшілігі бар: оларды көру қиын. Егер x, y және z бойынша полином болса, бет алгебралық деп аталады. 5-ші мысал алгебралық емес. Көрнекілендірудің қиындығына қарамастан, имплицитті беттер теориялық (мысалы, Штайнер беті) және практикалық (төменде қараңыз) қызықты беттерді жасау үшін салыстырмалы түрде оңай әдістерді ұсынады.
In mathematics, an implicit surface is a surface in Euclidean space defined by an equation
An implicit surface is the set of zeros of a function of three variables. Implicit means that the equation is not solved for x or y or z. The graph of a function is usually described by an equation and is called an explicit representation. The third essential description of a surface is the parametric one:
, where the x , y and z coordinates of surface points are represented by three functions depending on common parameters Generally the change of representations is simple only when the explicit representation is given: (implicit), (parametric). Examples:
The plane
The sphere
The torus
A surface of genus 2: (see diagram). The surface of revolution (see diagram wineglass). For a plane, a sphere, and a torus there exist simple parametric representations. This is not true for the fourth example. The implicit function theorem describes conditions under which an equation can be solved (at least implicitly) for x, y or z. But in general the solution may not be made explicit. This theorem is the key to the computation of essential geometric features of a surface: tangent planes, surface normals, curvatures (see below). But they have an essential drawback: their visualization is difficult. If is polynomial in x, y and z, the surface is called algebraic. Example 5 is non algebraic. Despite difficulty of visualization, implicit surfaces provide relatively simple techniques to generate theoretically (e. g. Steiner surface) and practically (see below) interesting surfaces.
Жасырын беттердің қолданылуы
Имплицитті қисықтардағыдай, қарапайым примитивтерге алгебралық амалдарды (қосу, көбейту) қолдану арқылы қажетті пішіндегі имплицитті беттерді жасау оңай.
Бірнеше жасырын беттердің тегіс шамалары
беттер кез келген тегіс және шектелген нысанның бетін жуықтату үшін пайдаланылуы мүмкін, мұнда беті қосымша көпмүшелердің көбейтіндісі ретінде бір көпмүшемен анықталады. Басқаша айтқанда, біз бір алгебралық бетпен кез келген тегіс нысанды құрастыра аламыз. Анықтаушы көпмүшелерді белгілейік. Содан кейін, жуықталған нысан көпмүшемен анықталады, оның ішінде маршырушы кубтар алгоритмі де бар. Негізінен, имплицитті бетті визуализациялаудың екі түрі бар: біреуі визуализацияланатын көпбұрыштар желісін жасайды (беттің үшбұрышқа бөлінуін қараңыз), ал екіншісі сәулелердің бетпен қиылысу нүктелерін анықтайтын сәулелерді іздейді. Қиылысу нүктелерін шарды іздеу арқылы, бетке дейінгі қашықтықты табу үшін қол қойылған қашықтық функциясын пайдалана отырып, жуықтап анықтауға болады.
including the marching cubes algorithm. Essentially there are two ideas for visualizing an implicit surface: One generates a net of polygons which is visualized (see surface triangulation) and the second relies on ray tracing which determines intersection points of rays with the surface. The intersection points can be approximated by sphere tracing, using a signed distance function to find the distance to the surface.