Введение
Поверхность в 3D-пространстве, определяемая неявной функцией трех переменных.
В математике имплицитная поверхность – это поверхность в евклидовом пространстве, заданная уравнением.
Имплицитная поверхность – это множество нулей функции трех переменных. Неявный означает, что уравнение не выражено относительно x, y или z. График функции обычно описывается уравнением и называется явным представлением. Третье важное описание поверхности – параметрическое: , где координаты x, y и z точек поверхности задаются тремя функциями, зависящими от общих параметров. Как правило, переход между представлениями прост только при заданном явном представлении: (неявное), (параметрическое). Примеры: плоскость, сфера, тор, поверхность рода 2: (см. диаграмму). Поверхность вращения (см. диаграмму винного бокала). Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это не относится к четвертому примеру. Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по крайней мере, неявно) относительно x, y или z. Но в общем случае решение не может быть выражено явно. Эта теорема является ключевой для вычисления основных геометрических характеристик поверхности: касательных плоскостей, нормалей к поверхности, кривизны (см. ниже). Однако у них есть существенный недостаток: их визуализация затруднена. Если является полиномом относительно x, y и z, поверхность называется алгебраической. Пример 5 не является алгебраической. Несмотря на трудности визуализации, имплицитные поверхности предоставляют относительно простые методы для генерации теоретически (например, поверхность Штейнера) и практически (см. ниже) интересных поверхностей.
, where the x , y and z coordinates of surface points are represented by three functions depending on common parameters Generally the change of representations is simple only when the explicit representation is given: (implicit), (parametric). Examples:
The plane
The sphere
The torus
A surface of genus 2: (see diagram). The surface of revolution (see diagram wineglass). For a plane, a sphere, and a torus there exist simple parametric representations. This is not true for the fourth example. The implicit function theorem describes conditions under which an equation can be solved (at least implicitly) for x, y or z. But in general the solution may not be made explicit. This theorem is the key to the computation of essential geometric features of a surface: tangent planes, surface normals, curvatures (see below). But they have an essential drawback: their visualization is difficult. If is polynomial in x, y and z, the surface is called algebraic. Example 5 is non algebraic. Despite difficulty of visualization, implicit surfaces provide relatively simple techniques to generate theoretically (e. g. Steiner surface) and practically (see below) interesting surfaces.
Применение неявных поверхностей
Как и в случае с неявными кривыми, достаточно легко генерировать неявные поверхности нужной формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам.
Гладкие приближения нескольких неявных поверхностей
Поверхности могут быть использованы для аппроксимации любого заданного гладкого и ограниченного объекта, поверхность которого определяется одним полиномом как произведением вспомогательных полиномов. Иными словами, мы можем создать любой гладкий объект с помощью одной алгебраической поверхности. Обозначим определяющие полиномы как Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом, включая алгоритм марширующих кубов. По сути, существует два подхода к визуализации неявной поверхности: один генерирует сетку полигонов, которая затем визуализируется (см. триангуляцию поверхности), а второй основан на трассировке лучей, определяющей точки пересечения лучей с поверхностью. Эти точки пересечения можно аппроксимировать методом трассировки сфер, используя знако́вую функцию расстояния для определения расстояния до поверхности.
including the marching cubes algorithm. Essentially there are two ideas for visualizing an implicit surface: One generates a net of polygons which is visualized (see surface triangulation) and the second relies on ray tracing which determines intersection points of rays with the surface. The intersection points can be approximated by sphere tracing, using a signed distance function to find the distance to the surface.