Кіріспе

Математикада, әсіресе топтар теориясында, топтың кіші топтар тізбегі – кіші топтардың тізбегі:

мұнда – тривиальды кіші топ. Кіші топтар тізбегі топты зерттеуді оның қарапайым кіші топтары мен олардың арақатынастарын зерттеуге дейін жеңілдете алады, сондай-ақ бірнеше кіші топтар тізбегі инвариантты түрде анықталуы мүмкін және топтардың маңызды инварианттары болып табылады. Кіші топтар әдісінде кіші топтар тізбегі қолданылады. Кіші топтар тізбегі – абстрактілік алгебрада сүзгілерді қолданудың нақты бір мысалы.

Қалыпты сериялар, қалыптан төмен сериялар

G тобының субнормальдық тізбегі (сондай-ақ нормальдық тізбек, нормальдық мұнара, субинвариантты тізбек немесе жай ғана тізбек) – әрбір келесі топтың нормальдық кіші тобы болатын кіші топтардың тізбегі. Стандартты жазуда Ai тобы G-дің нормальдық кіші тобы болуы міндетті емес, ол тек Ai+1 тобының нормальдық кіші тобы болуы керек. Ai+1/Ai бөліндік топтары тізбектің факторлық топтары деп аталады. Егер әрбір Ai тобы G-де нормальды болса, онда бұл тізбек нормальдық тізбек деп аталады, егер бұл термин әлсіз мағынада қолданылмаса, немесе инвариантты тізбек деп аталады.

Ұзындығы

Барлық i үшін Ai ≠ Ai+1 қасиетіне ие тізбек қайталанусыз тізбек деп аталады; эквивалентті түрде, әрбір Ai, Ai+1-нің нақты кіші тобы болып табылады. Тізбектің ұзындығы – Ai < Ai+1 қатаң кірігулер саны. Егер тізбекте қайталау болмаса, онда ұзындығы n-ге тең болады. Субнормальді тізбек үшін ұзындығы – тривиалды емес факторлық топтардың саны. Кез келген тривиалды емес топтың ұзындығы 1-ге тең нормальді тізбегі болады, атап айтқанда, кез келген тривиалды емес дұрыс нормальді субтоп ұзындығы 2-ге тең нормальді тізбек береді. Жасыраусыз топтар үшін ұзындығы 1-ге тең тривиалды тізбек – мүмкін болатын ең ұзын субнормальді тізбек болып табылады.

Ноэтериандық топтар, артиниандық топтар

Кіші топтардың өсу тізбегі шартын (ACC) қанағаттандыратын топ Ноэтериан тобы деп аталады, ал кіші топтардың кему тізбегі шартын (DCC) қанағаттандыратын топ Артиний тобы деп аталады (Артин топтарымен шатастырмау керек), Ноэтериан сақиналары мен Артиний сақиналарына ұқсастық бойынша. ACC максималдық шартына эквивалентті: кез келген бос емес кіші топтар жиынында максималды мүше болады, ал DCC сол сияқты минималдық шартқа эквивалентті. Топ Ноэтериандық болуы мүмкін, бірақ Артиний емес, мысалы, шексіз циклдік топ. Сақиналардан өзгеше, топ Артиний болуы мүмкін, бірақ Ноэтериандық емес, мысалы, Пруфер тобы. Кез келген шекті топ анық Ноэтериандық және Артинийлік болып табылады. Ноэтериандық топтардың гомоморфтік бейнелері мен кіші топтары Ноэтериандық болады, ал Ноэтериандық топтың Ноэтериандық топпен кеңейтілуі де Ноэтериандық болады. Артинийлік топтар үшін де ұқсас нәтижелер орынды. Ноэтериандық топтар – бұл әрбір кіші тобы шекті түрде туындаған топтар, бұл топтың өзі шекті түрде туындауынан күштірек: 2 немесе одан да көп туындысы бар еркін топ шекті түрде туындайды, бірақ шексіз рангілі еркін топтарды қамтиды. Ноэтериандық топтар міндетті түрде полициклді топтардың шекті кеңейтілімдері болуы керек емес.

Жиынтықты салыстыру

Бір қатардың нақтылануы – бастапқы қатардың барлық мүшелерін қамтитын басқа қатар. Екі субнормальді қатар тең немесе изоморфты деп есептеледі, егер олардың факторлық топтары жиындары арасында биекция болса және сәйкес факторлық топтар изоморфты болса. Нақтылану, теңдестікке дейін қатарлар бойынша ішінара реттеуді қамтамасыз етеді, және олар тор құрайды, ал субнормальді және нормальді қатарлар – кіші торларды құрайды. Екі субнормальді қатардың жоғарғы шегі Шрайердің нақтылану теоремасы болып табылады. Айрықша қызығушылық тудыратын нәрсе – қайталанбайтын максимальді қатарлар.

Ең жоғарғы серия

Композициялық қатар – максималды төмен нормалды қатар. Балама түрінде, Аi-нің әрқайсысы Аi+1-нің максималды нормалды кіші тобы болатын төмен нормалды қатар. Балама түрінде, композициялық қатар – әр факторлық топтар қарапайым болатын төмен нормалды қатар. Бас қатар – максималды нормалды қатар.

Ерігіштігі және құдіреті жоқ

Шешілетін топ немесе ерітілетін топ – факторлық топтарының барлығы абельдік болатын субнормальді қатарға ие топ. Нильпотентті қатар – бірінен соң бірі алынған бөлінділері нильпотентті болатын субнормальді қатар. Нильпотентті қатардың болуы топтың шешілетін болуымен ғана мүмкін. Орталық қатар – бірінен соң бірі алынған бөлінділері орталық болатын субнормальді қатар, яғни жоғарыда аталған қатар берілген жағдайда, орталық қатардың болуы топтың нильпотентті болуымен шартталған.