Введение

В математике, в частности в теории групп, подгрупповой ряд группы — это цепочка подгрупп:

где — тривиальная подгруппа. Подгрупповые ряды могут упростить изучение группы, сводя его к изучению более простых подгрупп и связей между ними, и некоторые подгрупповые ряды могут быть определены инвариантно и являются важными инвариантами групп. Подгрупповой ряд используется в методе подгрупп. Подгрупповые ряды представляют собой частный случай использования фильтраций в абстрактной алгебре.

Нормальные серии, субнормальные серии

Субнормальный ряд (также нормальный ряд, нормальная башня, субинвариантный ряд или просто ряд) группы G — это последовательность подгрупп, каждая из которых является нормальной подгруппой следующей за ней. В стандартном обозначении не требуется, чтобы Ai была нормальной подгруппой G, лишь нормальной подгруппой Ai +1. Частные группы Ai +1/Ai называются факторгруппами ряда. Если дополнительно каждая Ai нормальна в G, то ряд называется нормальным рядом, когда этот термин не используется в более широком смысле, или инвариантным рядом.

Длина

Ряд, обладающий дополнительным свойством, что Ai ≠ Ai +1 для всех i, называется рядом без повторений; эквивалентно, каждая группа Ai является собственной подгруппой Ai +1. Длина ряда — это число строгих включений Ai < Ai +1. Если ряд не содержит повторений, то его длина равна n.

Для субнормального ряда длина определяется как число нетривиальных факторгрупп. Каждая нетривиальная группа имеет нормальный ряд длины 1, а любая нетривиальная собственная нормальная подгруппа определяет нормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является максимально возможным субнормальным рядом.

Ноэтерианские группы, артинианские группы

Группа, удовлетворяющая условию восходящей цепи (ACC) на подгруппах, называется ноэтерианской группой, а группа, удовлетворяющая условию нисходящей цепи (DCC), называется артинианской группой (не путать с группами Артина), по аналогии с ноэтерианскими кольцами и артинианскими кольцами. Условие ACC эквивалентно максимальному условию: любая непустая коллекция подгрупп имеет максимальный элемент, а условие DCC эквивалентно аналогичному минимальному условию. Группа может быть ноэтерианской, но не артинианской, например, бесконечная циклическая группа, и, в отличие от колец, группа может быть артинианской, но не ноэтерианской, например, группа Пруфера. Каждая конечная группа является, очевидно, ноэтерианской и артинианской. Гомоморфные образы и подгруппы ноэтерианских групп ноэтерианские, а расширение ноэтерианской группы ноэтерианской группой также ноэтерианское. Аналогичные результаты справедливы для артинианских групп. Ноэтерианские группы эквивалентно характеризуются тем, что каждая их подгруппа конечно порождена, что является более сильным условием, чем конечность порождения самой группы: свободная группа на 2 или более генераторах конечно порождена, но содержит свободные группы бесконечного ранга. Ноэтерианские группы не обязаны быть конечными расширениями полициклических групп.

Сравнение рядов

Уточнение ряда — это другой ряд, содержащий все члены исходного ряда. Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если существует биекция между множествами их фактор-групп, сохраняющая изоморфизм соответствующих фактор-групп. Уточнение задает частичный порядок на рядах с точностью до эквивалентности, и они образуют решетку, при этом субнормальные и нормальные ряды образуют подрешетки. Теорема Шрайера об уточнении утверждает о существовании точной верхней границы двух субнормальных рядов. Особый интерес представляют максимальные ряды без повторений.

Максимальная серия

Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд. Эквивалентно, это субнормальный ряд, в котором каждый из Ai является максимальной нормальной подгруппой в Ai+1. Эквивалентно, композиционный ряд — это субнормальный ряд, в котором каждый фактор-группа проста. Главный ряд — это максимальный нормальный ряд.

Растворимые и нилпотентные

Растворимая группа, или солвентная группа, — это группа, имеющая субнормальный ряд, фактор-группы которого все абелевы. Нильпотентный ряд — это субнормальный ряд, у которого последовательные фактор-группы нильпотентны. Нильпотентный ряд существует тогда и только тогда, когда группа растворима. Центральный ряд — это субнормальный ряд, у которого последовательные фактор-группы центральны, то есть, для заданного выше ряда, центральный ряд существует тогда и только тогда, когда группа нильпотентна.