Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Комплексті жазықтықта торды анықтау жолы. Математикада периодтардың негізгі жұбы — күрделі жазықтықта торды анықтайтын күрделі сандардың реттелген жұбы. Бұл типтегі тор эллипстік функциялар мен модульдік формалар анықталатын негізгі объекті болып табылады.
Way of defining a lattice in the complex planeIn mathematics, a fundamental pair of periods is an ordered pair of complex numbers that defines a lattice in the complex plane. This type of lattice is the underlying object with which elliptic functions and modular forms are defined.
Анықтама
Күрделі сандардың жұбы, олардың қатынасы нақты сан болмайтын, негізгі периодтар жұбы деп аталады. Егер олар векторлар ретінде қарастырылса, онда олар сызықтық тәуелсіз болады. және периодтары арқылы құрылған тор –
A fundamental pair of periods is a pair of complex numbers such that their ratio is not real. If considered as vectors in , the two are linearly independent. The lattice generated by and is
Бұл торды кейде деп те белгілейді, оның және периодтарына байланысты екенін көрсету үшін. Сондай-ақ, оны немесе жай ғана деп белгілеуі мүмкін. және екі генератор тордың негізі деп аталады. Төбелері бар параллелограмм негізгі параллелограмм деп аталады. Негізгі периодтар жұбы торды құраса да, тордың бірегей негізгі периодтар жұбы болмайды; шындығында, бір торға сәйкес келетін шексіз көп негізгі периодтар жұбы бар.
This lattice is also sometimes denoted as to make clear that it depends on and It is also sometimes denoted by or or simply by The two generators and are called the lattice basis. The parallelogram with vertices is called the fundamental parallelogram. While a fundamental pair generates a lattice, a lattice does not have any unique fundamental pair; in fact, an infinite number of fundamental pairs correspond to the same lattice.
Алгебралық қасиеттер
Төменде тізімделген бірнеше нысанды көруге болады.
A number of properties, listed below, can be seen.
Ішкі нүктелері жоқ
Негізгі параллелограммның ішінде немесе шекарасында басқа тор нүктелері жоқ. Керісінше, осы қасиетке ие кез келген екі тор нүктесі негізгі жұпты құрайды, және олар бірдей торды жасайды.
The fundamental parallelogram contains no further lattice points in its interior or boundary. Conversely, any pair of lattice points with this property constitute a fundamental pair, and furthermore, they generate the same lattice.
Топологиялық қасиеттер
Абель тобы күрделі жазықтықты фундаменталды параллелограммға бейнелейді. Яғни, кез келген нүктені бүтін сандармен анықталатын және фундаменталды параллелограмм ішінде орналасқан нүкте арқылы өрнектеуге болады. Бұл бейнелеу параллелограммның қарама-қарсы қабырғаларын тең деп есептейтіндіктен, фундаменталды параллелограммның топологиясы тор сияқты болады. Басқаша айтқанда, бөлу көптігі – тор.
The abelian group maps the complex plane into the fundamental parallelogram. That is, every point can be written as for integers with a point in the fundamental parallelogram. Since this mapping identifies opposite sides of the parallelogram as being the same, the fundamental parallelogram has the topology of a torus. Equivalently, one says that the quotient manifold is a torus.