Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Способ определения решетки в комплексной плоскости. В математике фундаментальная пара периодов — это упорядоченная пара комплексных чисел, определяющая решетку в комплексной плоскости. Этот тип решетки является базовым объектом, на котором определяются эллиптические функции и модулярные формы.
Way of defining a lattice in the complex planeIn mathematics, a fundamental pair of periods is an ordered pair of complex numbers that defines a lattice in the complex plane. This type of lattice is the underlying object with which elliptic functions and modular forms are defined.
Определение
Фундаментальная пара периодов — это пара комплексных чисел, таких что их отношение не является вещественным. Если рассматривать их как векторы в ℂ, то они линейно независимы. Сетка, порожденная ω₁ и ω₂, имеет вид
A fundamental pair of periods is a pair of complex numbers such that their ratio is not real. If considered as vectors in , the two are linearly independent. The lattice generated by and is
Эта сетка также иногда обозначается Λ(ω₁, ω₂) для ясности, что она зависит от ω₁ и ω₂. Она также иногда обозначается Γ или 𝓛 или просто Λ. Два образующих ω₁ и ω₂ называются базисом сетки. Параллелограмм с вершинами 0, ω₁, ω₂ и ω₁ + ω₂ называется фундаментальным параллелограммом. Хотя фундаментальная пара генерирует сетку, у сетки нет единственной фундаментальной пары; фактически, бесконечно много фундаментальных пар соответствуют одной и той же сетке.
This lattice is also sometimes denoted as to make clear that it depends on and It is also sometimes denoted by or or simply by The two generators and are called the lattice basis. The parallelogram with vertices is called the fundamental parallelogram. While a fundamental pair generates a lattice, a lattice does not have any unique fundamental pair; in fact, an infinite number of fundamental pairs correspond to the same lattice.
Алгебраические свойства
Можно увидеть ряд свойств, перечисленных далее.
A number of properties, listed below, can be seen.
Нет внутренних точек
Фундаментальный параллелограмм не содержит других точек решетки внутри себя или на своей границе. Обратно, любая пара точек решетки, обладающая этим свойством, является фундаментальной парой и, более того, порождает одну и ту же решетку.
The fundamental parallelogram contains no further lattice points in its interior or boundary. Conversely, any pair of lattice points with this property constitute a fundamental pair, and furthermore, they generate the same lattice.
Топологические свойства
Абелева группа отображает комплексную плоскость в фундаментальный параллелограмм. То есть, любую точку z можно представить в виде z = x + iy, где x и y – целые числа, а y – точка в фундаментальном параллелограмме. Поскольку это отображение отождествляет противоположные стороны параллелограмма, фундаментальный параллелограмм имеет топологию тора. Эквивалентно, говорят, что фактор-многообразие является тором.
The abelian group maps the complex plane into the fundamental parallelogram. That is, every point can be written as for integers with a point in the fundamental parallelogram. Since this mapping identifies opposite sides of the parallelogram as being the same, the fundamental parallelogram has the topology of a torus. Equivalently, one says that the quotient manifold is a torus.