Кіріспе
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикада, толық кумуляция заңы – кумулянттарға қатысты жалпы ықтималдық заңының, жалпы күту заңының және жалпы дисперсия заңының жалпылауы болып табылады. Ол уақыт қатарларын талдауда қолданылады. Оны Дэвид Бриллинджер енгізді. Бұл заң, ең жалпы түрінде, нақтырақ айтқанда, бір ғана кездейсоқ айнымалы үшін белгілі бір реттілігі бар кумулянттар емес, бірлескен кумулянттар үшін жақсырақ түсіндіріледі. Жалпы жағдайда, бізде:
where
κ(X1, , Xn) is the joint cumulant of n random variables X1, , Xn, and
the sum is over all partitions of the set { 1, , n } of indices, and
"B ∈ ;" means B runs through the whole list of "blocks" of the partition , and
κ(Xi : i ∈ B | Y) is a conditional cumulant given the value of the random variable Y. It is therefore a random variable in its own right—a function of the random variable Y.
κ(X1, …, Xn) – n кездейсоқ айнымалы X1, …, Xn-нің бірлескен кумулянттары, ал қосынды {1, …, n} индекстер жиынының барлық бөлістері бойынша алынады, және "B ∈ ;" дегеніміз, B бөлістің барлық "блоктары" арқылы өтеді, ал κ(Xi : i ∈ B | Y) – Y кездейсоқ айнымалысының мәні берілгендегі шартты кумулянт. Ол, демек, өздігінен кездейсоқ айнымалы болып табылады – Y кездейсоқ айнымалысының функциясы.
where
κ(X1, , Xn) is the joint cumulant of n random variables X1, , Xn, and
the sum is over all partitions of the set { 1, , n } of indices, and
"B ∈ ;" means B runs through the whole list of "blocks" of the partition , and
κ(Xi : i ∈ B | Y) is a conditional cumulant given the value of the random variable Y. It is therefore a random variable in its own right—a function of the random variable Y.
Тек бір кездейсоқ айнымалының ерекше жағдайы және n = 2 немесе 3
Тек n = 2 немесе 3 болған жағдайда ғана n-ші кумулянт n-ші орталық моментке тең болады. n = 2 жағдайы жақсы белгілі (толық дисперсия заңынан көрінеді). Ал төменде n = 3 жағдайы келтірілген. μ3 белгісі үшінші орталық моментті көрсетеді.
Құрама Пуссон кездейсоқ айнымалыларының кумуляциялары
Y-де күтілетін мәні λ-ға тең Пуассон таралымы бар деп есептейік, ал X – бір-біріне тәуелсіз және Y-ге тәуелсіз W-нің Y данасының қосындысы. Пуассон таралымының барлық кумулянттары бір-біріне тең, сондықтан бұл жағдайда олар λ-ға тең. Сондай-ақ, егер W1, …, Wm кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда n-ші кумулянт қосымша болады:
Біз X-тің 4-ші кумулянтін табамыз. Бізде:
Соңғы қосындыны {1, 2, 3, 4} жиынының барлық бөлістері бойынша жасалған қосынды ретінде танимыз, мұнда әр бөлістің блоктары бойынша кумулянттардың көбейтіндісі алынады, ал кумулянттардың реті блок мөлшеріне тең. Бұл W-нің 4-ші жай сәтін білдіреді (осы фактіні көбірек талқылау үшін кумулянт туралы қараңыз). Осылайша, X-тің кумулянттары – W-нің сәттері λ-ға көбейтілген шама. Осылайша, әрбір сәттер тізбегі кумулянттар тізбегі екенін көреміз (керісіне дұрыс болмайды, өйткені 4-тен үлкен немесе тең тізбек кумулянттары кейбір жағдайларда теріс болады, сондай-ақ нормалды таралымның кумулянттар тізбегі кез келген ықтималдық таралымның сәттер тізбегі емес).
Бернуллидің кездейсоқ айнымалысына байланысты
Y = 1 ықтималдығы p және Y = 0 ықтималдығы q = 1 − p болсын. Егер Y = 1 болса, X-тің шартты ықтималдығы F, ал Y = 0 болса, G болсын. Онда бізде
бар, мұнда – {1, 2, ..., n} жиынының ең жалпы бөлінісінен гөрі ұсақ бөлінісі. Сумма осы бөліністердің бәрінен, оның өзінен басқа, алынады. Мысалы, егер n = 3 болса, онда: