Закон полной кумуляции в теории вероятностей: обобщение закона полного математического ожидания. Применение в анализе временных рядов, введено Бриллинджером.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории вероятностей и математической статистике закон полной кумуляции является обобщением закона полной вероятности, закона полного математического ожидания и закона полной дисперсии для кумулянт. Он находит применение в анализе временных рядов. Закон был введен Дэвидом Бриллингером. Он наиболее понятен, когда формулируется в наиболее общей форме для совместных кумулянт, а не для кумулянт заданного порядка для одной случайной величины. В общем случае, имеем:
In probability theory and mathematical statistics, the law of total cumulance is a generalization to cumulants of the law of total probability, the law of total expectation, and the law of total variance. It has applications in the analysis of time series. It was introduced by David Brillinger. It is most transparent when stated in its most general form, for joint cumulants, rather than for cumulants of a specified order for just one random variable. In general, we have
где
where
κ(X1, …, Xn) – совместный кумулянт n случайных величин X1, …, Xn, и
суммирование ведется по всем разбиениям множества {1, …, n} индексов, и
"B ∈ ℬ" означает, что B пробегает по всему списку "блоков" разбиения ℬ, и
κ(Xi : i ∈ B | Y) – условный кумулянт при заданном значении случайной величины Y. Таким образом, это сама случайная величина – функция от случайной величины Y.
κ(X1, , Xn) is the joint cumulant of n random variables X1, , Xn, and
the sum is over all partitions of the set { 1, , n } of indices, and
"B ∈ ;" means B runs through the whole list of "blocks" of the partition , and
κ(Xi : i ∈ B | Y) is a conditional cumulant given the value of the random variable Y. It is therefore a random variable in its own right—a function of the random variable Y.
Специальный случай только одной случайной переменной и n = 2 или 3
Только при n, равном 2 или 3, n-й кумулянт совпадает с n-м центральным моментом. Случай n = 2 хорошо известен (см. закон полной дисперсии). Ниже рассмотрен случай n = 3. Обозначение μ3 обозначает третий центральный момент.
Only in case n = either 2 or 3 is the nth cumulant the same as the nth central moment. The case n = 2 is well known (see law of total variance). Below is the case n = 3. The notation μ3 means the third central moment.
Кумуланты сложных случайных переменных Пуассона
Предположим, что Y имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием λ, а X является суммой Y копий W, которые независимы друг от друга и от Y. Все кумулянты распределения Пуассона равны друг другу, и поэтому в этом случае равны λ. Также вспомните, что если случайные величины W1, …, Wm независимы, то n-й кумулянт является аддитивным:
Suppose Y has a Poisson distribution with expected value λ, and X is the sum of Y copies of W that are independent of each other and of Y. All of the cumulants of the Poisson distribution are equal to each other, and so in this case are equal to λ. Also recall that if random variables W1, , Wm are independent, then the nth cumulant is additive:
Мы найдем 4-й кумулянт X. У нас есть:
We will find the 4th cumulant of X. We have:
Мы узнаем последнюю сумму как сумму по всем разбиениям множества {1, 2, 3, 4}, произведения по всем блокам разбиения, кумулянтов W порядка, равного размеру блока. Это в точности 4-й сырой момент W (см. статью о кумулянтах для более подробного обсуждения этого факта). Следовательно, кумулянты X – это моменты W, умноженные на λ. Таким образом, мы видим, что любая последовательность моментов также является последовательностью кумулянтов (обратное неверно, поскольку кумулянты четного порядка ≥ 4 в некоторых случаях могут быть отрицательными, а также потому, что последовательность кумулянтов нормального распределения не является последовательностью моментов какого-либо распределения вероятностей).
We recognize the last sum as the sum over all partitions of the set { 1, 2, 3, 4 }, of the product over all blocks of the partition, of cumulants of W of order equal to the size of the block. That is precisely the 4th raw moment of W (see cumulant for a more leisurely discussion of this fact). Hence the cumulants of X are the moments of W multiplied by λ. In this way we see that every moment sequence is also a cumulant sequence (the converse cannot be true, since cumulants of even order ≥ 4 are in some cases negative, and also because the cumulant sequence of the normal distribution is not a moment sequence of any probability distribution).
Кондиционирование на случайной переменной Бернулли
Предположим, что Y = 1 с вероятностью p и Y = 0 с вероятностью q = 1 − p. Предположим, что условное распределение вероятности X при заданном Y равно F, если Y = 1, и G, если Y = 0. Тогда у нас есть
Suppose Y = 1 with probability p and Y = 0 with probability q = 1 − p. Suppose the conditional probability distribution of X given Y is F if Y = 1 and G if Y = 0. Then we have
где обозначает разбиение множества {1, 2, ..., n}, которое является более детальным, чем самое грубое разбиение – суммирование ведется по всем разбиениям, кроме одного. Например, если n = 3, то у нас есть
where means is a partition of the set { 1, , n } that is finer than the coarsest partition – the sum is over all partitions except that one. For example, if n = 3, then we have