Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Квадраттура – математикада, әсіресе геометрияда, берілген жазық фигурамен тең ауданы бар квадратты салу немесе осы ауданның сандық мәнін анықтаудың тарихи процесі. Классикалық мысал – шеңберді квадраттау (немесе шеңбердің квадратурасы). Квадраттау мәселелері математикалық анализдің дамуындағы маңызды мәселелердің бірі болды және математикалық талдаудың маңызды тақырыптарын енгізеді.
Mathematical term for squaring a plane figure
In mathematics, particularly in geometry, quadrature (also called squaring) is a historical process of drawing a square with the same area as a given plane figure or computing the numerical value of that area. A classical example is the quadrature of the circle (or squaring the circle). Quadrature problems served as one of the main sources of problems in the development of calculus. They introduce important topics in mathematical analysis.
Ежелгі дәуір
Грек математиктері фигураның ауданын анықтауды геометриялық тұрғыдан бірдей аумақты (квадрат) құру процесі ретінде түсінді, сондықтан бұл процеске квадратура деп аталады. Грек геометрлері әрқашан сәтті болған жоқ (шеңберді квадраттауға қараңыз), бірақ олар Гиппократ айы мен парабола сияқты жай сызық сегменттері емес, кейбір фигуралардың квадратураларын орындады. Белгілі бір грек дәстүрі бойынша, бұл құрылымдар тек циркуль мен түзу сызық қолданып орындалуы керек еді, бірақ барлық грек математиктері осы қағиданы мүлтіксіз ұстанбады. a және b қабырғалары бар тіктөртбұрыштың квадратурасы үшін, (a және b-ның геометриялық ортасы) қабырғасы бар квадрат құру қажет. Осы мақсатта, мынаны қолдануға болады: егер a және b ұзындығындағы сызық сегменттерін біріктіретін диаметрі бар шеңбер салынса, онда диаметрге перпендикуляр салынған сызық сегментінің биіктігі (суретте BH), олардың қосылған нүктесінен шеңберді қиып өтетін нүктеге дейін, a және b-ның геометриялық ортасына тең болады. Осыған ұқсас геометриялық құрылым параллелограмм мен үшбұрыштың квадратурасын шешеді. Иінді сызықты фигуралардың квадратурасы мәселелері әлдеқайда қиын. Циркуль мен түзу сызықпен шеңберді квадраттау 19 ғасырда мүмкін емес екені дәлелденді. Дегенмен, кейбір фигуралар үшін квадратура орындалуы мүмкін. Архимедтің шардың беті мен парабола сегментінің квадратуралары антикалық талдаудың ең жоғары жетістігі болды. Сфераның бетінің ауданы, осы сфераның үлкен шеңберінен құралған шеңбердің ауданына төрт есе тең. Түзу сызықпен қиылатын парабола сегментінің ауданы, осы сегментке ішкі жазылған үшбұрыштың ауданынан 4/3 есе артық. Бұл нәтижелерді дәлелдеу үшін Архимед Эвдоксқа тиесілі шектеу әдісін қолданды.
Greek mathematicians understood the determination of an area of a figure as the process of geometrically constructing a square having the same area (squaring), thus the name quadrature for this process. The Greek geometers were not always successful (see squaring the circle), but they did carry out quadratures of some figures whose sides were not simply line segments, such as the lune of Hippocrates and the parabola. By a certain Greek tradition, these constructions had to be performed using only a compass and straightedge, though not all Greek mathematicians adhered to this dictum. For a quadrature of a rectangle with the sides a and b it is necessary to construct a square with the side (the geometric mean of a and b). For this purpose it is possible to use the following: if one draws the circle with diameter made from joining line segments of lengths a and b, then the height (BH in the diagram) of the line segment drawn perpendicular to the diameter, from the point of their connection to the point where it crosses the circle, equals the geometric mean of a and b. A similar geometrical construction solves the problems of quadrature of a parallelogram and of a triangle. Problems of quadrature for curvilinear figures are much more difficult. The quadrature of the circle with compass and straightedge was proved in the 19th century to be impossible. Nevertheless, for some figures a quadrature can be performed. The quadratures of the surface of a sphere and a parabola segment discovered by Archimedes became the highest achievement of analysis in antiquity. The area of the surface of a sphere is equal to four times the area of the circle formed by a great circle of this sphere. The area of a segment of a parabola determined by a straight line cutting it is 4/3 the area of a triangle inscribed in this segment. For the proofs of these results, Archimedes used the method of exhaustion attributed to Eudoxus.
Ортағасырлық математика
Ортағасырлық Еуропада квадраттау – кез келген әдіспен ауданды есептеуді білдірді. Көбінесе бөлшектер әдісі қолданылды; ол гректердің геометриялық құрылыстарымен салыстырғанда қатаңдығы төмен болғанмен, қарапайым және тиімдірек болды. Осы әдіс арқылы Галилео Галилей және Жиль де Робервал циклоида доғасының ауданын тапты, ал Грегуар де Сент-Винсент гипербола астындағы ауданды зерттеді (Opus Geometricum, 1647).
In medieval Europe, quadrature meant the calculation of area by any method. Most often the method of indivisibles was used; it was less rigorous than the geometric constructions of the Greeks, but it was simpler and more powerful. With its help, Galileo Galilei and Gilles de Roberval found the area of a cycloid arch, Grégoire de Saint Vincent investigated the area under a hyperbola (Opus Geometricum, 1647),
Интегралды есептеу
Джон Уоллис бұл әдісті алгебралық түрде жазды; ол 1656 жылы жарық көрген "Арифметика инфиниторум" еңбегінде қазір нақты интеграл деп аталатынға баламалы бірнеше қатарларды келтірді және олардың мәнін есептеді. Исаак Барроу және Джеймс Грегори бұл бағытта одан әрі дамыды: кейбір алгебралық қисықтар мен спиральдар үшін ауданды табу. Кристиан Гюйгенс кейбір айналма денелердің беттік ауданын табуға қол жеткізді. Грегор де Сент-Винсент және А. А. де Сараса гиперболаның ауданын табу арқылы маңызды жаңа функцияны – табиғи логарифмді ашты. Интегралдық есептеудің пайда болуымен ауданды есептеудің әмбебап әдісі келді. Оған жауап ретінде "ауданды табу" термині қалыптасып, техникалық тұрғыда біркелкі нақты интегралды есептеу үшін бұл сөз тіркесі жиі қолданылатын болды.
John Wallis algebrised this method; he wrote in his Arithmetica Infinitorum (1656) some series which are equivalent to what is now called the definite integral, and he calculated their values. Isaac Barrow and James Gregory made further progress: quadratures for some algebraic curves and spirals. Christiaan Huygens successfully performed a quadrature of the surface area of some solids of revolution. The quadrature of the hyperbola by Gregoire de Saint Vincent and A. A. de Sarasa provided a new function, the natural logarithm, of critical importance. With the invention of integral calculus came a universal method for area calculation. In response, the term quadrature has become traditional, and instead the modern phrase finding the area is more commonly used for what is technically the computation of a univariate definite integral.