Квадратура в математике: вычисление площади фигур и построение квадрата равной площади. Исторически важна для развития математического анализа и исчисления.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математический термин для квадратуры плоской фигуры.
Mathematical term for squaring a plane figure
В математике, особенно в геометрии, квадратура (также называемая квадратированием) — это исторический процесс построения квадрата, равновеликого данной плоской фигуре, или вычисления численного значения площади этой фигуры. Классическим примером является квадратура круга. Задачи на квадратуру служили одним из основных источников задач в развитии математического анализа. Они вводят важные темы в математическом анализе.
In mathematics, particularly in geometry, quadrature (also called squaring) is a historical process of drawing a square with the same area as a given plane figure or computing the numerical value of that area. A classical example is the quadrature of the circle (or squaring the circle). Quadrature problems served as one of the main sources of problems in the development of calculus. They introduce important topics in mathematical analysis.
Античность
Греческие математики понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата с той же площадью (квадратуры), отсюда и название "квадратура" для этого процесса. Греческие геометры не всегда были успешны (см. задачу о квадратуре круга), но они выполняли квадратуры некоторых фигур, чьи стороны не были просто прямыми отрезками, таких как луна Гиппократа и парабола. Согласно определенной греческой традиции, эти построения должны были выполняться только с помощью циркуля и линейки, хотя не все греческие математики придерживались этого правила. Для квадратуры прямоугольника со сторонами *a* и *b* необходимо построить квадрат со стороной √(*ab*) (геометрическое среднее *a* и *b*). Для этого можно использовать следующее: если построить окружность с диаметром, образованным соединением отрезков длины *a* и *b*, то высота (BH на рисунке) перпендикуляра, опущенного из точки соединения этих отрезков на окружность, равна геометрическому среднему *a* и *b*. Аналогичное геометрическое построение решает задачи квадратуры параллелограмма и треугольника. Задачи квадратуры для криволинейных фигур гораздо сложнее. Невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки была доказана в XIX веке. Тем не менее, для некоторых фигур квадратура возможна. Квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы, найденные Архимедом, стали высшим достижением анализа в античности. Площадь поверхности сферы равна четырем площадям круга, описанного вокруг этой сферы. Площадь сегмента параболы, ограниченного прямой линией, равна 4/3 площади вписанного в этот сегмент треугольника. Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу.
Greek mathematicians understood the determination of an area of a figure as the process of geometrically constructing a square having the same area (squaring), thus the name quadrature for this process. The Greek geometers were not always successful (see squaring the circle), but they did carry out quadratures of some figures whose sides were not simply line segments, such as the lune of Hippocrates and the parabola. By a certain Greek tradition, these constructions had to be performed using only a compass and straightedge, though not all Greek mathematicians adhered to this dictum. For a quadrature of a rectangle with the sides a and b it is necessary to construct a square with the side (the geometric mean of a and b). For this purpose it is possible to use the following: if one draws the circle with diameter made from joining line segments of lengths a and b, then the height (BH in the diagram) of the line segment drawn perpendicular to the diameter, from the point of their connection to the point where it crosses the circle, equals the geometric mean of a and b. A similar geometrical construction solves the problems of quadrature of a parallelogram and of a triangle. Problems of quadrature for curvilinear figures are much more difficult. The quadrature of the circle with compass and straightedge was proved in the 19th century to be impossible. Nevertheless, for some figures a quadrature can be performed. The quadratures of the surface of a sphere and a parabola segment discovered by Archimedes became the highest achievement of analysis in antiquity. The area of the surface of a sphere is equal to four times the area of the circle formed by a great circle of this sphere. The area of a segment of a parabola determined by a straight line cutting it is 4/3 the area of a triangle inscribed in this segment. For the proofs of these results, Archimedes used the method of exhaustion attributed to Eudoxus.
Средневековая математика
В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым способом. Чаще всего использовался метод неделимых; он был менее строгим, чем геометрические построения греков, но проще и эффективнее. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь арки циклоиды, а Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой (Opus Geometricum, 1647).
In medieval Europe, quadrature meant the calculation of area by any method. Most often the method of indivisibles was used; it was less rigorous than the geometric constructions of the Greeks, but it was simpler and more powerful. With its help, Galileo Galilei and Gilles de Roberval found the area of a cycloid arch, Grégoire de Saint Vincent investigated the area under a hyperbola (Opus Geometricum, 1647),
Интегральный анализ
Джон Уоллис алгебраизировал этот метод; в своей книге Arithmetica Infinitorum (1656) он представил ряды, эквивалентные тому, что сейчас называется определенным интегралом, и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса, найдя квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей. Кристиан Гюйгенс успешно вычислил площадь поверхности некоторых тел вращения. Квадратура гиперболы, выполненная Грегуаром де Сен-Винсентом и А. А. де Сараса, привела к открытию новой функции – натурального логарифма, имеющей решающее значение. С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площадей. В связи с этим термин "квадратура" стал традиционным, а для обозначения технически являющегося вычислением одновариантного определенного интеграла, чаще используется современная фраза "нахождение площади".
John Wallis algebrised this method; he wrote in his Arithmetica Infinitorum (1656) some series which are equivalent to what is now called the definite integral, and he calculated their values. Isaac Barrow and James Gregory made further progress: quadratures for some algebraic curves and spirals. Christiaan Huygens successfully performed a quadrature of the surface area of some solids of revolution. The quadrature of the hyperbola by Gregoire de Saint Vincent and A. A. de Sarasa provided a new function, the natural logarithm, of critical importance. With the invention of integral calculus came a universal method for area calculation. In response, the term quadrature has become traditional, and instead the modern phrase finding the area is more commonly used for what is technically the computation of a univariate definite integral.