Кіріспе
Алгебралық геометриядағы түсінік. Математикада геометриялық инварианттық теория (немесе GIT) – алгебралық геометрияда топтың әрекеттері арқылы бөлулерді (quotients) құруға арналған әдіс, ол модульдік кеңістіктерді құру үшін қолданылады. Оны 1965 жылы Дэвид Мамфорд классикалық инварианттық теориядан алынған идеяларды пайдаланып жасады. Геометриялық инварианттық теориясы G тобының алгебралық сортқа (немесе схемаға) X-ке тигізетін әсерін зерттейді және X-тің G бойынша «бөлуін» схема ретінде, оның дұрыс қасиеттерімен құру тәсілдерін ұсынады. Бір мақсат – алгебралық геометриядағы модульдік кеңістіктерді белгіленген объектілерді параметрлейтін схемалардың бөлулері ретінде құру. 1970-ші және 1980-ші жылдары теория симплектикалық геометриямен және эквивариантты топологиямен байланысты дамыды және дифференциалдық геометриядағы инстантондар және монопольдер сияқты объектілердің модульдік кеңістіктерін құру үшін қолданылды.
In mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper in classical invariant theory. Geometric invariant theory studies an action of a group G on an algebraic variety (or scheme) X and provides techniques for forming the 'quotient' of X by G as a scheme with reasonable properties. One motivation was to construct moduli spaces in algebraic geometry as quotients of schemes parametrizing marked objects. In the 1970s and 1980s the theory developed interactions with symplectic geometry and equivariant topology, and was used to construct moduli spaces of objects in differential geometry, such as instantons and monopoles.
Өмірбаян
Инвариант теориясы алгебралық түрлiк (немесе схема) X-те G тобының топтық әрекетiне қатысты. Классикалық инвариант теориясы 1=X = V векторлық кеңістік болған кезде және G - шекті топ немесе V-ге сызықтық әрекет ететін классикалық Ли топтарының бірі болған жағдайда қарастырылады. Бұл әрекет G-нің R(V) V-ге полиномиялық функциялар кеңістігінде сызықтық әрекетіне түрткі болады. G-нің V-ге әсерінің полиномиялық инварианттары - бұл топтың әрекетіне байланысты V-дегі f полиномиялық функциялары, яғни G-дегі барлық g үшін g · f = f. Олар коммутативтік алгебраны құрайды, және бұл алгебра V // G-дегі "инвариант теориясының үлесі" функцияларының алгебрасы ретінде түсіндіріледі, өйткені осы функциялардың кез келгені барлық эквивалентті нүктелер үшін бірдей мән береді (яғни, f(v) = f(gv) барлық g үшін). Қазіргі алгебралық геометрия тілінде,
The polynomial invariants of the G action on V are those polynomial functions f on V which are fixed under the 'change of variables' due to the action of the group, so that 1=g · f = f for all G in G. They form a commutative algebra , and this algebra is interpreted as the algebra of functions on the 'invariant theory quotient' V // G because any one of these functions gives the same value for all points that are equivalent (that is, 1=f (v) = f (gv) for all g). In the language of modern algebraic geometry,
Several difficulties emerge from this description. The first one, successfully tackled by Hilbert in the case of a general linear group, is to prove that the algebra A is finitely generated. This is necessary if one wanted the quotient to be an affine algebraic variety. Whether a similar fact holds for arbitrary groups G was the subject of Hilbert's fourteenth problem, and Nagata demonstrated that the answer was negative in general. On the other hand, in the course of development of representation theory in the first half of the twentieth century, a large class of groups for which the answer is positive was identified; these are called reductive groups and include all finite groups and all classical groups. The finite generation of the algebra A is but the first step towards the complete description of A, and progress in resolving this more delicate question was rather modest. The invariants had classically been described only in a restricted range of situations, and the complexity of this description beyond the first few cases held out little hope for full understanding of the algebras of invariants in general. Furthermore, it may happen that any polynomial invariant f takes the same value on a given pair of points u and v in V, yet these points are in different orbits of the G action. A simple example is provided by the multiplicative group of non zero complex numbers that acts on an n dimensional complex vector space by scalar multiplication. In this case, every polynomial invariant is a constant, but there are many different orbits of the action. The zero vector forms an orbit by itself, and the non zero multiples of any non zero vector form an orbit, so that non zero orbits are parametrized by the points of the complex projective space If this happens (different orbits having the same function values), one says that "invariants do not separate the orbits", and the algebra A reflects the topological quotient space X / G rather imperfectly. Indeed, the latter space, with the quotient topology, is frequently non separated (non Hausdorff). (This is the case in our example – the null orbit is not open because any neighborhood of the null vector contains points in all other orbits, so in the quotient topology any neighborhood of the null orbit contains all other orbits.) In 1893 Hilbert formulated and proved a criterion for determining those orbits which are not separated from the zero orbit by invariant polynomials. Rather remarkably, unlike his earlier work in invariant theory, which led to the rapid development of abstract algebra, this result of Hilbert remained little known and little used for the next 70 years. Much of the development of invariant theory in the first half of the twentieth century concerned explicit computations with invariants, and at any rate, followed the logic of algebra rather than geometry.
Бұл сипаттамадан бірнеше қиындықтар туындайды. Біріншісі, жалпы сызықтық топ жағдайында Гилбертпен сәтті шешілген, алгебра A шекті түрде туындайды. Бұл, егер квота аффинді алгебралық сан алуандық болуы керек болса, қажет. Осындай факт кездейсоқ G топтары үшін жарамды ма, жоқ па, бұл Хилберттің он төртінші мәселесінің тақырыбы болды, ал Нагата жауаптың жалпы алғанда теріс екенін көрсетті. Екінші жағынан, ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы репрезентация теориясының дамуы барысында оң жауап беретін топтардың үлкен класы анықталды; олар редуктивті топтар деп аталады және барлық шекті топтар мен барлық классикалық топтарды қамтиды. А алгебрасының шекті генерациясы А-ның толық сипаттамасына қарай алғашқы қадам болып табылады, ал бұл неғұрлым нәзік мәселені шешудегі прогресс өте қарапайым болды. Инварианттар классикалық түрде тек шектеулі жағдайларда сипатталған, ал бұл сипаттаманың күрделілігі алғашқы бірнеше жағдайдан тыс жалпы инварианттардың алгебраларын толық түсіну үшін аз үміт қалдырды. Сонымен қатар, кез келген полиномиалдық инвариант f V-дегі u және v нүктелерінің берілген жұбында бірдей мәнді алады, бірақ бұл нүктелер G әрекетінің әртүрлі орбиталарында болады. Қарапайым мысал ретінде скалярлық көбейту арқылы n өлшемді күрделі векторлық кеңістікте әрекет ететін нөлдік емес күрделі сандардың көбейтуші тобы келтірілген. Бұл жағдайда әрбір полиномиалдық инвариант тұрақты, бірақ іс-әрекеттің көптеген әртүрлі орбиталары бар. Нөлдік вектор орбитаны өзі қалыптастырады, ал кез келген нөлдік емес вектордың нөлдік емес еселері орбитаны қалыптастырады, сондықтан нөлдік емес орбиталар күрделі проективті кеңістіктің нүктелерімен параметрленеді. Егер бұл орын алса (бірдей функция мәндері бар әртүрлі орбиталар), "инварианттар орбиталарды бөліп тастамайды" дейді, ал алгебра А топологиялық квота кеңістігін X / G өте кемелсіз түрде көрсетеді. Шынында да, соңғы кеңістік, үлестік топологиямен, жиі бөлінбейді (хаусдорфтық емес). (Бұл біздің мысалдағы жағдай – нөлдік орбита ашық емес, өйткені нөлдік вектордың кез келген көршілігінде барлық басқа орбиталар бар, сондықтан квозиент топологиясында нөлдік орбитаның кез келген көршілігінде барлық басқа орбиталар бар.) 1893 жылы Гилберт нөлдік орбитадан инвариант полиномиялармен бөлінбеген орбиталарды анықтау критерийін тұжырымдап, дәлелдеді. Оның абстрактілік алгебраның тез дамуына әкелген инвариант теориясындағы бұрынғы жұмысынан айырмашылығы, Хилберттің бұл нәтижесі келесі 70 жыл бойы аз танымал және аз пайдаланылды. ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы инвариант теориясының дамуының көп бөлігі инварианттармен нақты есептеулерге қатысты және кез келген жағдайда геометриядан гөрі алгебраның логикасына сәйкес келді.
The polynomial invariants of the G action on V are those polynomial functions f on V which are fixed under the 'change of variables' due to the action of the group, so that 1=g · f = f for all G in G. They form a commutative algebra , and this algebra is interpreted as the algebra of functions on the 'invariant theory quotient' V // G because any one of these functions gives the same value for all points that are equivalent (that is, 1=f (v) = f (gv) for all g). In the language of modern algebraic geometry,
Several difficulties emerge from this description. The first one, successfully tackled by Hilbert in the case of a general linear group, is to prove that the algebra A is finitely generated. This is necessary if one wanted the quotient to be an affine algebraic variety. Whether a similar fact holds for arbitrary groups G was the subject of Hilbert's fourteenth problem, and Nagata demonstrated that the answer was negative in general. On the other hand, in the course of development of representation theory in the first half of the twentieth century, a large class of groups for which the answer is positive was identified; these are called reductive groups and include all finite groups and all classical groups. The finite generation of the algebra A is but the first step towards the complete description of A, and progress in resolving this more delicate question was rather modest. The invariants had classically been described only in a restricted range of situations, and the complexity of this description beyond the first few cases held out little hope for full understanding of the algebras of invariants in general. Furthermore, it may happen that any polynomial invariant f takes the same value on a given pair of points u and v in V, yet these points are in different orbits of the G action. A simple example is provided by the multiplicative group of non zero complex numbers that acts on an n dimensional complex vector space by scalar multiplication. In this case, every polynomial invariant is a constant, but there are many different orbits of the action. The zero vector forms an orbit by itself, and the non zero multiples of any non zero vector form an orbit, so that non zero orbits are parametrized by the points of the complex projective space If this happens (different orbits having the same function values), one says that "invariants do not separate the orbits", and the algebra A reflects the topological quotient space X / G rather imperfectly. Indeed, the latter space, with the quotient topology, is frequently non separated (non Hausdorff). (This is the case in our example – the null orbit is not open because any neighborhood of the null vector contains points in all other orbits, so in the quotient topology any neighborhood of the null orbit contains all other orbits.) In 1893 Hilbert formulated and proved a criterion for determining those orbits which are not separated from the zero orbit by invariant polynomials. Rather remarkably, unlike his earlier work in invariant theory, which led to the rapid development of abstract algebra, this result of Hilbert remained little known and little used for the next 70 years. Much of the development of invariant theory in the first half of the twentieth century concerned explicit computations with invariants, and at any rate, followed the logic of algebra rather than geometry.