Геометрическая теория инвариантов: построение факторпространств и модулей пространствами.
Geometric invariant theory
Геометрическая инвариантная теория (GIT): метод построения частных от деления в алгебраической геометрии для создания модульных пространств. Разработана Мамфордом.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Понятие в алгебраической геометрии
Concept in algebraic geometry
В математике геометрическая инвариантная теория (или GIT) — это метод построения частных орбит при действии группы в алгебраической геометрии, используемый для построения модульных пространств. Она была разработана Дэвидом Мамфордом в 1965 году, с использованием идей из работ по классической инвариантной теории. Геометрическая инвариантная теория изучает действие группы G на алгебраическое многообразие (или схему) X и предоставляет методы для формирования "частного" X по G как схемы с разумными свойствами. Одной из мотиваций было построение модульных пространств в алгебраической геометрии как частных орбит схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развила связи с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и была использована для построения модульных пространств объектов в дифференциальной геометрии, таких как инстантоны и монополи.
In mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper in classical invariant theory. Geometric invariant theory studies an action of a group G on an algebraic variety (or scheme) X and provides techniques for forming the 'quotient' of X by G as a scheme with reasonable properties. One motivation was to construct moduli spaces in algebraic geometry as quotients of schemes parametrizing marked objects. In the 1970s and 1980s the theory developed interactions with symplectic geometry and equivariant topology, and was used to construct moduli spaces of objects in differential geometry, such as instantons and monopoles.
Предыстория
Теория инвариантов изучает групповое действие группы G на алгебраическом многообразии (или схеме) X. Классическая инвариантная теория рассматривает случай, когда X = V является векторным пространством, а G — либо конечная группа, либо одна из классических групп Ли, линейно действующая на V. Это действие индуцирует линейное действие G на пространство полиномиальных функций R(V) на V по формуле
Invariant theory is concerned with a group action of a group G on an algebraic variety (or a scheme) X. Classical invariant theory addresses the situation when 1=X = V is a vector space and G is either a finite group, or one of the classical Lie groups that acts linearly on V. This action induces a linear action of G on the space of polynomial functions R(V) on V by the formula
Полиномиальные инварианты действия G на V — это полиномиальные функции f на V, которые остаются неизменными при "изменении переменных", вызванном действием группы, то есть g · f = f для всех g ∈ G. Они образуют коммутативную алгебру, которая интерпретируется как алгебра функций на "инвариантном факторпространстве" V // G, поскольку любая из этих функций принимает одно и то же значение для всех эквивалентных точек (то есть, f(v) = f(gv) для всех g ∈ G). В терминах современной алгебраической геометрии,
The polynomial invariants of the G action on V are those polynomial functions f on V which are fixed under the 'change of variables' due to the action of the group, so that 1=g · f = f for all G in G. They form a commutative algebra , and this algebra is interpreted as the algebra of functions on the 'invariant theory quotient' V // G because any one of these functions gives the same value for all points that are equivalent (that is, 1=f (v) = f (gv) for all g). In the language of modern algebraic geometry,
Из этого описания вытекает несколько трудностей. Первая, успешно решённая Гильбертом в случае общей линейной группы, заключается в доказательстве конечнопорождённости алгебры A. Это необходимо, если факторпространство должно быть аффинным алгебраическим многообразием. Вопрос о том, справедлив ли аналогичный факт для произвольных групп G, был поставлен Гильбертом в его четырнадцатой проблеме, и Нагата показал, что ответ в общем случае отрицателен. С другой стороны, в ходе развития теории представлений в первой половине XX века был выделен большой класс групп, для которых ответ положителен; эти группы называются редуктивными и включают все конечные группы и все классические группы. Конечнопорождённость алгебры A — лишь первый шаг к полному её описанию, и прогресс в решении этого более тонкого вопроса был весьма скромным. Инварианты классически описывались лишь в ограниченном числе случаев, и сложность этого описания за пределами первых нескольких случаев не давала надежды на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Кроме того, может случиться так, что любой полиномиальный инвариант f принимает одно и то же значение в двух заданных точках u и v в V, при этом эти точки принадлежат разным орбитам действия G. Простой пример предоставляет мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел, действующая на n-мерное комплексное векторное пространство умножением на скаляр. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует множество различных орбит действия. Нулевой вектор образует орбиту, состоящую только из него, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплексного проективного пространства. Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функций), говорят, что "инварианты не разделяют орбиты", и алгебра A отражает топологическое факторпространство X / G довольно неточно. Действительно, последнее пространство с фактортопологией часто несвязано (нехаусдорфово). (Это имеет место в нашем примере: нулевая орбита не открыта, поскольку любая окрестность нулевого вектора содержит точки из всех остальных орбит, а значит, в фактортопологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все остальные орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий для определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными полиномами. Примечательно, что, в отличие от его более ранних работ по инвариантной теории, которые привели к быстрому развитию абстрактной алгебры, этот результат Гильберта оставался малоизвестным и малоиспользуемым в течение следующих 70 лет. Большая часть развития инвариантной теории в первой половине XX века была посвящена явным вычислениям с инвариантами и, в любом случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.
Several difficulties emerge from this description. The first one, successfully tackled by Hilbert in the case of a general linear group, is to prove that the algebra A is finitely generated. This is necessary if one wanted the quotient to be an affine algebraic variety. Whether a similar fact holds for arbitrary groups G was the subject of Hilbert's fourteenth problem, and Nagata demonstrated that the answer was negative in general. On the other hand, in the course of development of representation theory in the first half of the twentieth century, a large class of groups for which the answer is positive was identified; these are called reductive groups and include all finite groups and all classical groups. The finite generation of the algebra A is but the first step towards the complete description of A, and progress in resolving this more delicate question was rather modest. The invariants had classically been described only in a restricted range of situations, and the complexity of this description beyond the first few cases held out little hope for full understanding of the algebras of invariants in general. Furthermore, it may happen that any polynomial invariant f takes the same value on a given pair of points u and v in V, yet these points are in different orbits of the G action. A simple example is provided by the multiplicative group of non zero complex numbers that acts on an n dimensional complex vector space by scalar multiplication. In this case, every polynomial invariant is a constant, but there are many different orbits of the action. The zero vector forms an orbit by itself, and the non zero multiples of any non zero vector form an orbit, so that non zero orbits are parametrized by the points of the complex projective space If this happens (different orbits having the same function values), one says that "invariants do not separate the orbits", and the algebra A reflects the topological quotient space X / G rather imperfectly. Indeed, the latter space, with the quotient topology, is frequently non separated (non Hausdorff). (This is the case in our example – the null orbit is not open because any neighborhood of the null vector contains points in all other orbits, so in the quotient topology any neighborhood of the null orbit contains all other orbits.) In 1893 Hilbert formulated and proved a criterion for determining those orbits which are not separated from the zero orbit by invariant polynomials. Rather remarkably, unlike his earlier work in invariant theory, which led to the rapid development of abstract algebra, this result of Hilbert remained little known and little used for the next 70 years. Much of the development of invariant theory in the first half of the twentieth century concerned explicit computations with invariants, and at any rate, followed the logic of algebra rather than geometry.