Математикалық интегралдаудың символдық әдісі

Кіріспе

Математикада, жабық түрде антидеривативті есептеу. Есептеуде, символдық интеграция — берілген f(x) функциясының антидеривативін немесе белгісіз интегралын табу мәселесі, яғни F(x) дифференциалданатын функциясының формуласын табу, мұндай:

Бұл сондай-ақ былай да белгіленеді:

Талқылау

Символикалық термин бұл мәселені сандық интеграциядан ажырату үшін қолданылады, онда F-тің мәні F-тің жалпы формуласына қарағанда белгілі бір кіріс немесе кірістер жиынтығында ізделеді. Екі мәселе де цифрлық компьютерлер пайда болғанға дейін ұзақ бұрын практикалық және теориялық маңызы бар деп есептелді, бірақ қазіргі уақытта олар көбінесе компьютерлік ғылым саласы деп саналады, себебі компьютерлер көбінесе жеке жағдайларды шешу үшін қолданылады. Өрнектің туындысын табу – алгоритм құру оңай болатын қарапайым процесс. Интегралды табу мәселесі керісінше, әлдеқайда қиын. Көптеген салыстырмалы түрде қарапайым өрнектерде жабық түрде өрнектелетін интегралдар болмайды. Толығырақ ақпарат алу үшін антидериватив және элементарлы емес интеграл тақырыптарын қараңыз. Риш алгоритмі деп аталатын процедура бар, ол элементарлық функцияның (шекті сандағы экспоненталар, логарифмдер, тұрақтылар және n-ші түбірлерден құрылған, төрт элементарлық операция арқылы композиция және комбинацияланған функция) интегралы элементарлы екенін анықтай алады және егер солай болса, оны қайтарады. Риш алгоритмінің бастапқы нұсқасы тікелей іске асыруға қолайлы болмады және оның толық іске асырылуы көп уақыт алды. Ол алғаш рет Reduce жүйесінде таза трансценденттік функциялар үшін іске асырылды; таза алгебралық функциялар жағдайы Джеймс Х. Давенпорт тарапынан шешілді және Reduce жүйесінде іске асырылды; ал жалпы жағдай Мануэль Бронштейн тарапынан шешілді, ол оның көп бөлігін Axiom жүйесінде іске асырды, бірақ бүгінгі күнге дейін Риш алгоритмінің барлық ерекше жағдайлар мен тармақтарын қамтитын толық іске асырылуы жоқ. Дегенмен, Риш алгоритмі тек белгісіз интегралдарға ғана қолданылады, ал физиктер, теориялық химиктер және инженерлерге қызығушылық тудыратын интегралдардың көпшілігі Лаплас түрлендіруі, Фурье түрлендіруі және Меллин түрлендіруімен байланысты белгілі интегралдар болып табылады. Жалпы алгоритм болмағандықтан, компьютерлік алгебра жүйелерін жасаушылар үлгілерді сәйкестендіру және арнайы функцияларды, әсіресе толық емес гамма функциясын пайдалану негізінде эвристикалық әдістерді іске асырды. Бұл тәсіл алгоритмдік емес, эвристикалық болғанымен, практикалық инженерлік қолданыстарда кездесетін көптеген белгілі интегралдарды шешудің тиімді тәсілі болып табылады. Macsyma сияқты ертерек жүйелерде арнайы функцияларға байланысты бірнеше белгілі интегралдар іздеу кестесінде сақталған. Алайда, бұл әдіс – арнайы функцияларды параметрлеріне қатысты дифференциалдау, айнымалыны түрлендіру, үлгілерді сәйкестендіру және басқа да манипуляцияларды қамтиды – Maple жүйесін әзірлеушілер тарапынан басталып, кейіннен Mathematica, Axiom, MuPAD және басқа жүйелерде қолданылды.

The term symbolic is used to distinguish this problem from that of numerical integration, where the value of F is sought at a particular input or set of inputs, rather than a general formula for F.

Both problems were held to be of practical and theoretical importance long before the time of digital computers, but they are now generally considered the domain of computer science, as computers are most often used currently to tackle individual instances. Finding the derivative of an expression is a straightforward process for which it is easy to construct an algorithm. The reverse question of finding the integral is much more difficult. Many expressions that are relatively simple do not have integrals that can be expressed in closed form. See antiderivative and nonelementary integral for more details. A procedure called the Risch algorithm exists that is capable of determining whether the integral of an elementary function (function built from a finite number of exponentials, logarithms, constants, and nth roots through composition and combinations using the four elementary operations) is elementary and returning it if it is. In its original form, the Risch algorithm was not suitable for a direct implementation, and its complete implementation took a long time. It was first implemented in Reduce in the case of purely transcendental functions; the case of purely algebraic functions was solved and implemented in Reduce by James H. Davenport; the general case was solved by Manuel Bronstein, who implemented almost all of it in Axiom, though to date there is no implementation of the Risch algorithm that can deal with all of the special cases and branches in it. However, the Risch algorithm applies only to indefinite integrals, while most of the integrals of interest to physicists, theoretical chemists, and engineers are definite integrals often related to Laplace transforms, Fourier transforms, and Mellin transforms. Lacking a general algorithm, the developers of computer algebra systems have implemented heuristics based on pattern matching and the exploitation of special functions, in particular the incomplete gamma function. Although this approach is heuristic rather than algorithmic, it is nonetheless an effective method for solving many definite integrals encountered by practical engineering applications. Earlier systems such as Macsyma had a few definite integrals related to special functions within a look up table. However this particular method, involving differentiation of special functions with respect to its parameters, variable transformation, pattern matching and other manipulations, was pioneered by developers of the Maple system and then later emulated by Mathematica, Axiom, MuPAD and other systems.

Соңғы жетістіктер

Символдық интеграцияның классикалық тәсіліндегі негізгі мәселе, егер функция жабық түрде берілсе, онда оның антитуындысы, әдетте, ұқсас түрде берілмейді. Басқаша айтқанда, жабық түрде берілетін функциялар класы антитуындылау бойынша жабық емес. Голономикалық функциялар – функциялардың кең класы, ол антитуындылау бойынша жабық және интеграцияны, сондай-ақ есептеудің көптеген басқа операцияларын компьютерде алгоритмдік түрде жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Нақтырақ айтқанда, голономикалық функция – полиномдық коэффициенттері бар біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімі. Голономикалық функциялар қосу, көбейту, туынды және антитуынды бойынша жабық. Оларға алгебралық функциялар, экспоненциалдық функция, логарифм, синус, косинус, кері тригонометриялық функциялар, кері гиперболалық функциялар кіреді. Бұларға сондай-ақ Эйри функциясы, қателік функциясы, Бессель функциялары және барлық гипергеометриялық функциялар сияқты көптеген қолданылатын арнайы функциялар да кіреді. Голономикалық функциялардың маңызды қасиеті – олардың Тейлор қатарының коэффициенттері кез келген нүктеде полиномдық коэффициенттері бар сызықтық рекурренттік қатынасты қанағаттандырады, және осы рекурренттік қатынасты функцияны анықтайтын дифференциалдық теңдеуден есептеуге болады. Керісінше, қуат қатарының коэффициенттері арасындағы рекурренттік қатынас берілген жағдайда, бұл қуат қатары дифференциалдық теңдеуі алгоритмдік түрде есептелетін голономикалық функцияны анықтайды. Осы рекурренттік қатынас Тейлор қатарын жылдам есептеуге мүмкіндік береді, демек функцияның кез келген нүктедегі мәнін кез келген кішкентай расталған қатемен есептеуге болады. Бұл, дифференциалдық теңдеуімен және бастапқы шарттарымен берілген голономикалық функцияларға шектелген жағдайда, есептеудің көптеген операцияларын алгоритмдік етеді. Бұл антитуындыларды және анықталған интегралдарды есептеуді қамтиды (бұл интегралдау аралығының соңғы нүктелерінде антитуындыны бағалауға тең). Бұған сондай-ақ функцияның шексіздіктегі асимптотикалық мінез-құлқының есептеуі, демек шексіз аралықтағы анықталған интегралдар да кіреді. Бұл операциялардың барлығы Maple-дің algolib кітапханасында жүзеге асырылған. Сондай-ақ, Математикалық функциялардың динамикалық сөздігіне қараңыз.

The main problem in the classical approach of symbolic integration is that, if a function is represented in closed form, then, in general, its antiderivative has not a similar representation. In other words, the class of functions that can be represented in closed form is not closed under antiderivation. Holonomic functions are a large class of functions, which is closed under antiderivation and allows algorithmic implementation in computers of integration and many other operations of calculus. More precisely, a holonomic function is a solution of a homogeneous linear differential equation with polynomial coefficients. Holonomic functions are closed under addition and multiplication, derivation, and antiderivation. They include algebraic functions, exponential function, logarithm, sine, cosine, inverse trigonometric functions, inverse hyperbolic functions. They include also most common special functions such as Airy function, error function, Bessel functions and all hypergeometric functions. A fundamental property of holonomic functions is that the coefficients of their Taylor series at any point satisfy a linear recurrence relation with polynomial coefficients, and that this recurrence relation may be computed from the differential equation defining the function. Conversely given such a recurrence relation between the coefficients of a power series, this power series defines a holonomic function whose differential equation may be computed algorithmically. This recurrence relation allows a fast computation of the Taylor series, and thus of the value of the function at any point, with an arbitrary small certified error. This makes algorithmic most operations of calculus, when restricted to holonomic functions, represented by their differential equation and initial conditions. This includes the computation of antiderivatives and definite integrals (this amounts to evaluating the antiderivative at the endpoints of the interval of integration). This includes also the computation of the asymptotic behavior of the function at infinity, and thus the definite integrals on unbounded intervals. All these operations are implemented in the algolib library for Maple. See also the Dynamic Dictionary of Mathematical Functions.