Введение

В математике, вычисление антидеривативы в замкнутой форме.

В математическом анализе, символическая интеграция — это задача нахождения формулы для антидеривативы, или неопределённого интеграла, заданной функции f(x), то есть нахождения формулы для дифференцируемой функции F(x), такой что

Это также обозначается

Обсуждение

Термин "символический" используется для разграничения этой задачи от задачи численного интегрирования, где значение F ищется для конкретного входного значения или набора входных значений, а не общая формула для F. Обе задачи считались практически и теоретически важными задолго до появления цифровых компьютеров, но в настоящее время они обычно рассматриваются как область компьютерных наук, поскольку компьютеры чаще всего используются для решения отдельных примеров. Нахождение производной выражения — это простая процедура, для которой легко построить алгоритм. Обратная задача — нахождение интеграла — гораздо сложнее. Многие относительно простые выражения не имеют интегралов, представимых в замкнутой форме. Подробности см. в статьях "антипроизводная" и "неэлементарный интеграл". Существует процедура, называемая алгоритмом Риша, которая способна определить, является ли интеграл элементарной функции (функции, построенной из конечного числа экспонент, логарифмов, констант и корней n-й степени посредством композиции и комбинаций с использованием четырех элементарных операций) элементарным и, в случае положительного ответа, вернуть его. В исходной форме алгоритм Риша не подходил для прямой реализации, и его полная реализация заняла много времени. Впервые он был реализован в системе Reduce для чисто трансцендентных функций; случай чисто алгебраических функций был решен и реализован в Reduce Джеймсом Х. Давенпортом; общий случай был решен Мануэлем Бронштейном, который реализовал почти все это в системе Axiom, хотя на сегодняшний день не существует реализации алгоритма Риша, способной обрабатывать все специальные случаи и ветви, которые в нем встречаются. Однако алгоритм Риша применим только к неопределенным интегралам, в то время как большинство интегралов, представляющих интерес для физиков, теоретических химиков и инженеров, являются определенными интегралами, часто связанными с преобразованиями Лапласа, преобразованиями Фурье и преобразованиями Меллина. В отсутствие общего алгоритма разработчики систем компьютерной алгебры реализовали эвристические методы, основанные на сопоставлении с образцами и использовании специальных функций, в частности, неполной гамма-функции. Хотя этот подход является эвристическим, а не алгоритмическим, он тем не менее является эффективным методом решения многих определенных интегралов, возникающих в практических инженерных приложениях. Более ранние системы, такие как Macsyma, содержали несколько определенных интегралов, связанных со специальными функциями, в таблице поиска. Однако этот конкретный метод, включающий дифференцирование специальных функций по их параметрам, преобразование переменных, сопоставление с образцами и другие манипуляции, был впервые разработан разработчиками системы Maple, а затем эмулирован системами Mathematica, Axiom, MuPAD и другими.

Последние достижения

Основная проблема классического подхода к символьной интеграции заключается в том, что если функция представлена в замкнутой форме, то, как правило, её первообразная не имеет подобного представления. Иными словами, класс функций, представимых в замкнутой форме, не является замкнутым относительно операции взятия первообразной. Голономические функции – это обширный класс функций, который замкнут относительно взятия первообразной и позволяет алгоритмически реализовать на компьютерах интегрирование и многие другие операции математического анализа. Более точно, голономическая функция – это решение однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами. Голономические функции замкнуты относительно сложения и умножения, дифференцирования и интегрирования. Они включают алгебраические функции, экспоненциальную функцию, логарифм, синус, косинус, обратные тригонометрические функции, обратные гиперболические функции. Они также включают большинство распространённых специальных функций, таких как функция Эйри, функция ошибок, функции Бесселя и все гипергеометрические функции. Фундаментальным свойством голономических функций является то, что коэффициенты их ряда Тейлора в любой точке удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами, и это соотношение может быть вычислено из дифференциального уравнения, определяющего функцию. Обратно, задано такое рекуррентное соотношение между коэффициентами степенного ряда, этот ряд определяет голономическую функцию, дифференциальное уравнение которой может быть вычислено алгоритмически. Это рекуррентное соотношение позволяет быстро вычислять ряд Тейлора и, следовательно, значение функции в любой точке с произвольно малой верифицированной погрешностью. Это делает алгоритмическими большинство операций математического анализа, когда они ограничены голономическими функциями, представленными их дифференциальным уравнением и начальными условиями. Это включает в себя вычисление первообразных и определённых интегралов (что эквивалентно вычислению значения первообразной на концах интервала интегрирования). Это также включает в себя вычисление асимптотического поведения функции на бесконечности и, следовательно, определённых интегралов на неограниченных интервалах. Все эти операции реализованы в библиотеке algolib для Maple. См. также Динамический словарь математических функций.