Эллиптические кривые в математике

Введение

Алгебраическая кривая

математическая кривая

В математике эллиптическая кривая — это гладкая, проективная алгебраическая кривая рода один, на которой выделена точка O. Эллиптическая кривая определяется над полем K и описывает точки в K × K, декартовом произведении K на себя. Если характеристика поля отлична от 2 и 3, то кривая может быть описана как плоская алгебраическая кривая, состоящая из решений (x, y) уравнения:

для некоторых коэффициентов a и b из K. Кривая должна быть несингулярной, то есть не иметь особых точек, таких как куспиды или самопересечения. (Это эквивалентно условию 4a³ + 27b² ≠ 0, то есть быть свободной от квадратов в x.) Подразумевается, что кривая рассматривается в проективной плоскости, а точка O — единственная точка на бесконечности. Многие источники определяют эллиптическую кривую просто как кривую, заданную уравнением такой формы. (Когда поле коэффициентов имеет характеристику 2 или 3, вышеуказанное уравнение недостаточно общее для описания всех несингулярных кубических кривых; см. ниже.) Эллиптическая кривая является абелевым многообразием — то есть, на ней определена алгебраически заданный групповой закон, относительно которого она образует абелеву группу, — и O служит нейтральным элементом. Если y² = P(x), где P — любой многочлен третьей степени от x без кратных корней, то множество решений является несингулярной плоской кривой рода один, то есть эллиптической кривой. Если P имеет степень четыре и свободен от квадратов, то это уравнение также описывает плоскую кривую рода один; однако, в этом случае нет естественного выбора нейтрального элемента. В более общем смысле, любая алгебраическая кривая рода один, например, пересечение двух квадратичных поверхностей, вложенных в трехмерное проективное пространство, называется эллиптической кривой, при условии, что она снабжена выделенной точкой, служащей нейтральным элементом. Используя теорию эллиптических функций, можно показать, что эллиптические кривые, определенные над комплексными числами, соответствуют вложениям тора в комплексную проективную плоскость. Тор также является абелевой группой, и это соответствие является групповым изоморфизмом. Эллиптические кривые особенно важны в теории чисел и представляют собой активную область современных исследований; например, они были использованы в доказательстве Эндрю Уайлса Великой теоремы Ферма. Они также находят применение в криптографии на эллиптических кривых (ECC) и факторизации целых чисел. Эллиптическая кривая не является эллипсом в смысле проективной коники, которая имеет род ноль: см. эллиптический интеграл для происхождения термина. Однако существует естественное представление вещественных эллиптических кривых с инвариантом формы j ≥ 1 в виде эллипсов в гиперболической плоскости. В частности, пересечения гиперболоида Минковского с квадратичными поверхностями, характеризующимися определенным постоянным угловым свойством, порождают эллипсы Штайнера (генерируемые сохраняющими ориентацию коллинеациями). Кроме того, ортогональные траектории этих эллипсов включают эллиптические кривые с j ≤ 1, и любой эллипс, заданный как геометрическое место точек относительно двух фокусов, является однозначной суммой двух эллипсов Штайнера, полученной путем сложения пар пересечений на каждой ортогональной траектории. Здесь вершина гиперболоида служит нейтральным элементом на каждой траектории. Топологически сложная эллиптическая кривая является тором, а сложный эллипс — сферой.

for some coefficients a and b in K. The curve is required to be non singular, which means that the curve has no cusps or self intersections. (This is equivalent to the condition 4a^(3) + 27b^(2) ≠ 0, that is, being square free in x.) It is always understood that the curve is really sitting in the projective plane, with the point O being the unique point at infinity. Many sources define an elliptic curve to be simply a curve given by an equation of this form. (When the coefficient field has characteristic 2 or 3, the above equation is not quite general enough to include all non singular cubic curves; see below.) An elliptic curve is an abelian variety – that is, it has a group law defined algebraically, with respect to which it is an abelian group – and O serves as the identity element. If 1=y^(2) = P(x), where P is any polynomial of degree three in x with no repeated roots, the solution set is a nonsingular plane curve of genus one, an elliptic curve. If P has degree four and is square free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example the intersection of two quadric surfaces embedded in three dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it is equipped with a marked point to act as the identity. Using the theory of elliptic functions, it can be shown that elliptic curves defined over the complex numbers correspond to embeddings of the torus into the complex projective plane. The torus is also an abelian group, and this correspondence is also a group isomorphism. Elliptic curves are especially important in number theory, and constitute a major area of current research; for example, they were used in Andrew Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. They also find applications in elliptic curve cryptography (ECC) and integer factorization. An elliptic curve is not an ellipse in the sense of a projective conic, which has genus zero: see elliptic integral for the origin of the term. However, there is a natural representation of real elliptic curves with shape invariant j ≥ 1 as ellipses in the hyperbolic plane Specifically, the intersections of the Minkowski hyperboloid with quadric surfaces characterized by a certain constant angle property produce the Steiner ellipses in (generated by orientation preserving collineations). Further, the orthogonal trajectories of these ellipses comprise the elliptic curves with j ≤ 1, and any ellipse in described as a locus relative to two foci is uniquely the elliptic curve sum of two Steiner ellipses, obtained by adding the pairs of intersections on each orthogonal trajectory. Here, the vertex of the hyperboloid serves as the identity on each trajectory curve. Topologically, a complex elliptic curve is a torus, while a complex ellipse is a sphere.

Кривые не Вайерштрасса

Для кубической кривой, не находящейся в нормальной форме Вейерштрасса, можно определить структуру группы, выбрав одну из девяти точек перегиба в качестве нейтрального элемента O. В проективной плоскости каждая прямая пересекает кубическую кривую в трех точках с учетом кратности. Для точки P, −P определяется как третья, единственная точка на прямой, проходящей через O и P. Далее, для любых точек P и Q, P + Q определяется как −R, где R — третья, единственная точка на прямой, проходящей через P и Q. Пример группового закона для кривой, не являющейся кривой Вейерштрасса, можно найти в описании кривых Гессена.

Эллиптические кривые над рациональными числами

Кривая E, заданная над полем рациональных чисел, также задана над полем действительных чисел. Следовательно, закон сложения (точек с действительными координатами) методом касательных и секущих применим к E. Явные формулы показывают, что сумма двух точек P и Q с рациональными координатами снова имеет рациональные координаты, поскольку прямая, соединяющая точки P и Q, имеет рациональные коэффициенты. Таким образом, доказывается, что множество рациональных точек кривой E образует подгруппу в группе действительных точек кривой E.