Полиномдардың нөлдерімен анықталатын қисықтар

Кіріспе

Көптамалардың нөлдері ретінде анықталатын қисық математикада аффиндік алгебралық жазықтық қисық екі айнымалыдағы көптаманың нөлдік жиыны болып табылады. Проективті алгебралық жазықтық қисық – үш айнымалыдағы гомогенді көптаманың проективті жазықтықтағы нөлдік жиыны. Аффиндік алгебралық жазықтық қисықты оның анықтамалық көптамасын гомогендеу арқылы проективті алгебралық жазықтық қисығына толықтыруға болады. Керісінше, 1=h(x, y, t) = 0 гомогенді теңдеуімен берілген проективті алгебралық жазықтық қисығын 1=h(x, y, 1) = 0 теңдеуімен берілген аффиндік алгебралық жазықтық қисығына шектеуге болады. Бұл екі операция бір-біріне кері; сондықтан алгебралық жазықтық қисық термині көбінесе қарастырылып отырған жағдайдың аффиндік немесе проективті екенін нақты көрсетпей қолданылады. Егер жазық алгебралық қисықтың анықтамалық көптамасы ирредуктивті болса, онда ирредуктивті жазық алгебралық қисыққа ие болады. Әйтпесе, алгебралық қисық – бұл оның компоненттері деп аталатын ирредуктивті қисықтардың бірігуі, олар ирредуктивті факторлармен анықталады. Жалпы алғанда, алгебралық қисық – бұл бір өлшемді алгебралық сорт. (Кейбір контекстерде бір өлшемді алгебралық жиын да алгебралық қисық деп аталады, бірақ бұл мақалада осы жағдай қарастырылмайды.) Балама түсіндіру бойынша, алгебралық қисық – бұл бирационалдық түрде ирредуктивті алгебралық жазықтық қисыққа эквивалентті алгебралық сорт. Егер қисық аффиндік кеңістікте немесе проективті кеңістікте жатса, онда мұндай бирационалдық эквиваленттілік үшін проекцияны қолдануға болады. Бұл бирационалдық эквиваленттіліктер алгебралық қисықтарды зерттеудің көп бөлігін алгебралық жазықтық қисықтарды зерттеуге дейін тоғытады. Дегенмен, кейбір қасиеттер бирационалдық эквиваленттілік астында сақталмайды және жазықтық емес қисықтарда зерттелуі керек. Бұл, әсіресе, дәреже және тегістік үшін дұрыс. Мысалы, 0 тегі мен 2-ден жоғары дәрежелі тегіс қисықтар бар, бірақ мұндай қисықтардың кез келген жазықтық проекциясының жеке нүктелері болады (Тегі-дәреже формуласын қараңыз). Жазықтық емес қисық көбінесе кеңістіктік қисық немесе қисық сызық деп аталады.

Curve defined as zeros of polynomials

In mathematics, an affine algebraic plane curve is the zero set of a polynomial in two variables. A projective algebraic plane curve is the zero set in a projective plane of a homogeneous polynomial in three variables. An affine algebraic plane curve can be completed in a projective algebraic plane curve by homogenizing its defining polynomial. Conversely, a projective algebraic plane curve of homogeneous equation 1=h(x, y, t) = 0 can be restricted to the affine algebraic plane curve of equation 1=h(x, y, 1) = 0. These two operations are each inverse to the other; therefore, the phrase algebraic plane curve is often used without specifying explicitly whether it is the affine or the projective case that is considered. If the defining polynomial of a plane algebraic curve is irreducible, then one has an irreducible plane algebraic curve. Otherwise, the algebraic curve is the union of one or several irreducible curves, called its components, that are defined by the irreducible factors. More generally, an algebraic curve is an algebraic variety of dimension one. (In some contexts, an algebraic set of dimension one is also called an algebraic curve, but this will not be the case in this article.) Equivalently, an algebraic curve is an algebraic variety that is birationally equivalent to an irreducible algebraic plane curve. If the curve is contained in an affine space or a projective space, one can take a projection for such a birational equivalence. These birational equivalences reduce most of the study of algebraic curves to the study of algebraic plane curves. However, some properties are not kept under birational equivalence and must be studied on non plane curves. This is, in particular, the case for the degree and smoothness. For example, there exist smooth curves of genus 0 and degree greater than two, but any plane projection of such curves has singular points (see Genus–degree formula). A non plane curve is often called a space curve or a skew curve.

Евклидтік геометрияда

Евклид жазықтығындағы алгебралық қисық – координаттары екіайнымалы көпмүшелік теңдеудің p(x, y) = 0 шешімдері болатын нүктелер жиыны. Бұл теңдеу көбінесе қисықтың имплицитті теңдеуі деп аталады, функцияның графигі ретінде y-ді x функциясы ретінде нақты анықтайтын қисықтардан өзгеше. Мұндай имплицитті теңдеумен берілген қисық үшін алғашқы мәселелер – қисықтың пішінін анықтау және оны салу болып табылады. Бұл мәселелерді функция графигі жағдайындағыдай оңай шешу мүмкін емес, себебі y-ді x-тің әртүрлі мәндері үшін оңай есептеуге болады. Анықтамалық теңдеудің көпмүшелік болуы қисықтың осы мәселелерді шешуге көмектесетін құрылымдық қасиеттері бар екенін көрсетеді. Кез келген алгебралық қисықтың бірегей түрде шекті сандағы тегіс монотонды доғаларға (сондай-ақ тармақтар деп аталады) жіктеуге болады, олар кейде «ерекше нүктелер» деп аталатын бірнеше нүктелермен байланыстырылған, және сонымен қатар шекті сандағы оқшауланған нүктелер – аконодар болуы мүмкін. Тегіс монотонды доға – x осінің ашық аралығында анықталған және монотонды тегіс функцияның графигі. Әр бағытта доға шексіз (әдетте шексіз доға деп аталады) немесе соңғы нүктесі бар, ол координаттық осьтердің біріне параллель жанамасы бар нүкте немесе ерекше нүкте (бұл төменде анықталады) болуы мүмкін. Мысалы, Цирнхаузен кубигі үшін бастапқы нүктесі (0,0) болатын екі шексіз доға бар. Бұл нүкте қисықтың жалғыз ерекше нүктесі. Сондай-ақ, осы ерекше нүктесі бар және горизонталь жанамасы бар екінші нүктесі бар екі доға бар. Соңында, көлденең жанамасы бар осы нүктелердің бірін бастапқы нүктесі ретінде және тік жанамасы бар бірегей нүктесін соңғы нүктесі ретінде қамтитын екі басқа доға бар. Керісінше, синусоид әрине алгебралық қисық емес, себебі оның шексіз көптеген монотонды доғалары бар. Алгебралық қисықты салу үшін ерекше нүктелерді және олардың жанамаларын, шексіз тармақтарды және олардың асимптоталарын (бар болса) және доғалардың оларды қалай байланыстыратынын білу маңызды. Бұрылу нүктелерін де ерекше нүктелер ретінде қарастыру пайдалы. Осы ақпараттың бәрі қағазға түсірілгенде, қисықтың пішіні көбінесе айқын көрінеді. Егер көрінбесе, қисықтың жақсы сипаттамасын алу үшін бірнеше басқа нүктелерді және олардың жанамаларын қосу жеткілікті. Ерекше нүктелерді және олардың жанамаларын есептеу әдістері жазық қисықтың ерекше нүктелері бөлімінде төменде сипатталған.

An algebraic curve in the Euclidean plane is the set of the points whose coordinates are the solutions of a bivariate polynomial equation p(x, y) = 0. This equation is often called the implicit equation of the curve, in contrast to the curves that are the graph of a function defining explicitly y as a function of x. With a curve given by such an implicit equation, the first problems are to determine the shape of the curve and to draw it. These problems are not as easy to solve as in the case of the graph of a function, for which y may easily be computed for various values of x. The fact that the defining equation is a polynomial implies that the curve has some structural properties that may help in solving these problems. Every algebraic curve may be uniquely decomposed into a finite number of smooth monotone arcs (also called branches) sometimes connected by some points sometimes called "remarkable points", and possibly a finite number of isolated points called acnodes. A smooth monotone arc is the graph of a smooth function which is defined and monotone on an open interval of the x axis. In each direction, an arc is either unbounded (usually called an infinite arc) or has an endpoint which is either a singular point (this will be defined below) or a point with a tangent parallel to one of the coordinate axes. For example, for the Tschirnhausen cubic, there are two infinite arcs having the origin (0,0) as of endpoint. This point is the only singular point of the curve. There are also two arcs having this singular point as one endpoint and having a second endpoint with a horizontal tangent. Finally, there are two other arcs each having one of these points with horizontal tangent as the first endpoint and having the unique point with vertical tangent as the second endpoint. In contrast, the sinusoid is certainly not an algebraic curve, having an infinite number of monotone arcs. To draw an algebraic curve, it is important to know the remarkable points and their tangents, the infinite branches and their asymptotes (if any) and the way in which the arcs connect them. It is also useful to consider the inflection points as remarkable points. When all this information is drawn on a sheet of paper, the shape of the curve usually appears rather clearly. If not, it suffices to add a few other points and their tangents to get a good description of the curve. The methods for computing the remarkable points and their tangents are described below in the section Remarkable points of a plane curve.

Жазық қисықтың ерекше нүктелері

Бұл бөлімде біз екі айнымалыдан құралған көпмүше p(x, y) арқылы анықталатын жазық алгебралық қисықты және оның p-нің гомогендендірілуі арқылы анықталатын проективті толықтыруын қарастырамыз.

Сызықпен қиылысуы

Қисық пен берілген түзудің қиылысу нүктелерін білу жиі пайдалы болады. Координата осьтерімен қиылысуы және асимптоталар қисықты салу үшін пайдалы. Осьтерге параллель түзулермен қиылысу қисықтың әр тармағында кем дегенде бір нүкте табуға мүмкіндік береді. Тиімді түбір табу алгоритмі болса, бұл қисықты x осьіндегі әр пиксель арқылы өтетін және y осіне параллель барлық түзулермен қиылысу нүктелерін белгілеп салу арқылы салуға мүмкіндік береді. Қисықты анықтайтын көпмүшелік d дәрежелі болса, кез келген түзу қисықты ең көп d нүктеде кесіп өтеді. Безу теоремасы бұл санның дәл d екенін мәлімдейді, егер нүктелер алгебралық жабық өріс үстіндегі (мысалы, комплекс сандар) проективті жазықтықта ізделсе және олардың көптігімен есептелсе. Келесі есептеу әдісі осы теореманы осы қарапайым жағдайда қайта дәлелдейді. p көпмүшелігімен анықталған қисық пен ax+by+c = 0 теңдеуімен берілген түзудің қиылысын есептеу үшін, түзу теңдеуін x үшін (немесе a = 0 болса y үшін) шешеміз. Нәтижені p-ге қойып, q(y) = 0 (немесе түзу теңдеуі y бойынша шешілген болса q(x) = 0) бірмүшелік теңдеуін аламыз, оның әр түбірі қиылысу нүктесінің бір координатасы болып табылады. Екінші координата түзу теңдеуінен шығарылады. Қиылысу нүктесінің көптігі – сәйкес түбірдің көптігі. Егер q дәрежесі p дәрежесінен төмен болса, шексіздікте қиылысу нүктесі бар; мұндай шексіздіктегі қиылысу нүктесінің көптігі p және q дәрежелерінің айырмасы болып табылады.

Жазық емес алгебралық қисықтар

Алгебралық қисық – бір өлшемді алгебралық түрлендіру. Бұл n өлшемді аффиндік кеңістіктегі аффиндік қисықтың кем дегенде n – 1 n айнымалыдағы көптіктермен анықталады дегенді білдіреді. Қисықты анықтау үшін бұл көптіктер Крулл өлшемі 1 болатын негізгі идеалды құруы керек. Бұл шартты тәжірибеде тексеру оңай емес. Сондықтан жазықтық емес қисықтарды бейнелеудің келесі тәсілі ыңғайлы болуы мүмкін. f азайтылмайтын екі айнымалы x1 және x2 -дегі n көптік болсын. n өлшемді аффиндік кеңістіктегі координаттары теңдеулер мен теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелер – алгебралық қисықтың барлық нүктелері, онда шектеулі саны нүктелер алынып тасталған. Бұл қисық h көптіктер идеалының генераторлары жүйесімен анықталады, сонда k бүтін саны бар, ол f арқылы анықталған қисық пен жазық қисық арасындағы бирационалдық эквиваленттілік болып табылады. Кез келген алгебралық қисықты осылай бейнелеуге болады. Дегенмен, алғашқы екі айнымалыға проекцияны дерлік әрқашан инъективті ету үшін айнымалылардың сызықтық түрлендірілуі қажет болуы мүмкін. Айнымалыларды түрлендіру қажет болған жағдайда, оны шексіз өріс үстінде анықтағаннан кейін, дерлік кез келген түрлендіру ыңғайлы болады. Бұл бейнелеу бізге жазықтық емес алгебралық қисықтың кез келген қасиетін, оның графикалық бейнесін қоса, оның жазық проекциясының сәйкес қасиетінен оңай шығаруға мүмкіндік береді. Оның ымқыл теңдеулерімен анықталған қисық үшін, қисықтың жоғарыдағы бейнесін кішігірім айнымалылардың блогы (x1, x2) болатын блоктық реттеуді қолдана отырып, Гробнер негізінен оңай алуға болады. f көптік – тек x1 және x2-ге тәуелді негізгі көптік. gi/g0 бөлшектері i = 3, …, n үшін, xi бойынша сызықтық және тек x1, x2 және xi-ге тәуелді негіздегі көптікті таңдау арқылы алынады. Егер мұндай таңдау мүмкін болмаса, онда теңдеулер алгебралық жиынтықты анықтайды, ол түрлендіру емес, немесе түрлендіру бір өлшемді емес, немесе координаттарды өзгерту қажет дегенді білдіреді. Соңғы жағдай f бар және бірегей болғанда пайда болады, ал i = 3, …, n үшін, оның жетекші мономиалы тек x1, x2 және xi-ге тәуелді көптіктер бар.

An algebraic curve is an algebraic variety of dimension one. This implies that an affine curve in an affine space of dimension n is defined by, at least, n − 1 polynomials in n variables. To define a curve, these polynomials must generate a prime ideal of Krull dimension 1. This condition is not easy to test in practice. Therefore, the following way to represent non plane curves may be preferred. Let be n polynomials in two variables x1 and x2 such that f is irreducible. The points in the affine space of dimension n such whose coordinates satisfy the equations and inequations

are all the points of an algebraic curve in which a finite number of points have been removed. This curve is defined by a system of generators of the ideal of the polynomials h such that it exists an integer k such belongs to the ideal generated by This representation is a birational equivalence between the curve and the plane curve defined by f. Every algebraic curve may be represented in this way. However, a linear change of variables may be needed in order to make almost always injective the projection on the two first variables. When a change of variables is needed, almost every change is convenient, as soon as it is defined over an infinite field. This representation allows us to deduce easily any property of a non plane algebraic curve, including its graphical representation, from the corresponding property of its plane projection. For a curve defined by its implicit equations, above representation of the curve may easily deduced from a Gröbner basis for a block ordering such that the block of the smaller variables is (x1, x2). The polynomial f is the unique polynomial in the base that depends only of x1 and x2. The fractions gi/g0 are obtained by choosing, for i = 3, , n, a polynomial in the basis that is linear in xi and depends only on x1, x2 and xi. If these choices are not possible, this means either that the equations define an algebraic set that is not a variety, or that the variety is not of dimension one, or that one must change of coordinates. The latter case occurs when f exists and is unique, and, for i = 3, , n, there exist polynomials whose leading monomial depends only on x1, x2 and xi.

Алгебралық функция өрістері

Алгебралық қисықтарды зерттеуді азайтылмас алгебралық қисықтарды зерттеуге келтіріп болады: екі кіші қисықтың біріктірілісі түрінде жазылмайтын қисықтар. Бирационалдық эквиваленттілікке дейін, F өрісіндегі азайтылмас қисықтар, F өрісіндегі бір айнымалыдағы алгебралық функциялық өрістерге категориялық түрде эквивалентті. Мұндай алгебралық функциялық өріс – F өрісінің K өрісіне кеңейтілуі болып табылады, онда F-ке қатысты трансцендентті элемент x бар, және K, F(x) өрісінің шекті алгебралық кеңейтілуі болып табылады, мұнда F(x) – F өрісіндегі x белгісіздігінің рационалдық функцияларының өрісі.

Мысалы, C кешендік сандар өрісін қарастырайық, онда C(x) рационалдық функциялар өрісін анықтауға болады. Егер 1=y^(2) = x^(3) − x − 1 болса, онда C(x, y) өрісі эллипстік функциялық өріс болады. x элементі бірегей түрде анықталмайды; өрісті, мысалы, C(y) өрісінің кеңейтілуі ретінде де қарастыруға болады. Функциялық өріске сәйкес келетін алгебралық қисық – C2 кеңістігіндегі 1=y^(2) = x^(3) − x − 1 теңдеуін қанағаттандыратын (x, y) нүктелерінің жиынтығы. Егер F өрісі алгебралық жабық болмаса, функциялық өрістерге қатысты қарау, нүктелердің орнын қарастыруға қарағанда сәл жалпырақ болады, себебі біз, мысалы, нүктелері жоқ "қисықтарды" да қамтимыз. Мысалы, егер F базалық өрісі R нақты сандар өрісі болса, онда 1=x^(2) + y^(2) = −1 теңдеуі R(x) өрісінің алгебралық кеңейтілуін анықтайды, бірақ R2 кеңістігінің ішкі жиыны ретінде қарастырылған сәйкес қисықта нүктелер жоқ. 1=x^(2) + y^(2) = −1 теңдеуі схемалық мағынада R өрісінде азайтылмас алгебралық қисықты анықтайды (R өрісінде шекті типтегі интегралды, бөлектелген бір өлшемді схема). Осы мағынада, F өрісіндегі азайтылмас алгебралық қисықтар мен F өрісіндегі бір айнымалыдағы алгебралық функциялық өрістер арасындағы бір-бірге сәйкестік (бирационалдық эквиваленттілікке дейін) жалпы жағдайда сақталады. Екі қисық қисықтар ретінде изоморфты болмаса да, бирационалдық эквивалентті (яғни изоморфты функциялық өрістерге ие) болуы мүмкін. Жағдай сингулярлықтары жоқ қисықтармен жұмыс істегенде жеңілдейді. Егер олардың функциялық өрістері изоморфты болса, екі сингулярлықтары жоқ проективтік қисықтар изоморфты болады және керісінше. Цен теоремасы алгебралық жабық өрістегі алгебралық қисықтың функциялық өрісіне қатысты.

Күрделі қисықтар мен нақты беттер

Күрделі проективті алгебралық қисық n өлшемді күрделі проективті кеңістікте CPn орналасқан. Оның күрделі өлшемділігі n, бірақ нақты көпқырлы ретінде топологиялық өлшемділігі 2n, және ол тығыз, байланысқан және бағытталған. C үстіндегі алгебралық қисықтың да топологиялық өлшемділігі екі; яғни, ол бет. Бұл беттің топологиялық туысы, атап айтқанда тұтқалар немесе донат тесіктерінің саны, алгебралық қисықтың геометриялық туысына тең, оны алгебралық тәсілдермен есептеуге болады. Қысқасы, егер d дәрежесі және тек қана қалыпты сингулярлықтары (бірнешелігі екіге тең және әртүрлі жанамалары бар) бар сингулярлық емес қисықтың жазық проекциясын қарастырсақ, онда туысы (d − 1)(d − 2)/2 − k болады, мұнда k – осы сингулярлықтардың саны.

Жігітті Риман беттері

Риман беті – бір кешенді өлшемді байланысты кешенді аналитикалық көптеулік, ол оны екі өлшемді байланысты нақты көптеулікке айналдырады. Егер ол топологиялық кеңістік ретінде компакт болса, онда ол компакт болып табылады. C-дегі тегіс, икемделмейтін проективті алгебралық қисықтардың санаты (морфизмдер ретінде тұрақты емес реттеулі бейнелеулермен), компактты Риман беттерінің санаты (морфизмдер ретінде тұрақты емес голоморфтық бейнелеулермен) және C-дегі бір айнымалыдағы алгебралық функциялар өрісінің санатының кері санаты арасында категориялардың үштік тепе-теңдігі бар (өрістік гомоморфизмдермен, C-ді морфизмдер ретінде бекітетін). Бұл осы үш тақырыпты зерттегенде, біз бір нәрсені зерттеп отырмыз дегенді білдіреді. Ол алгебралық геометрияда кешенді талдау әдістерін, кешенді талдауда алгебралық геометриялық әдістерді, ал екеуінде де өріс теориялық әдістерді қолдануға мүмкіндік береді. Бұл алгебралық геометриядағы мәселелердің әлдеқайда кең класына тән. Қосымша алгебралық геометрия және аналитикалық геометрия қараңыз.

Рационалды жазықтық қисықтар

Рационалды жазықтық қисықтары – екі координаттағы дәрежесі біртекті полиномдардың берілген жалпы қималарында енгізілген рационалды қисықтар. Дәрежесі бар рационалды жазықтық қисығын анықтайтын карта бар. Мұндай тұрақты қисықтардың барлығын параметрлейтін модульдік кеңістік бар (мұнда – гипержазықтық класы). Модульдік кеңістіктің өлшемін анықтау үшін өлшемді есептеу жүргізіледі: Әр қима үшін параметрлердің саны берілген, яғни барлық қималар үшін жалпы саны параметрлерді құрайды. Олар проективті бөлуге дейін қарастырылғандықтан, параметрлердің саны азаяды. Сонымен қатар, өлшемді автоморфизмдердің үш өлшемді тобы бар, сондықтан модульдік кеңістіктің өлшемі тең. Бұл модульдік кеңістік Громов-Виттен теориясын қолданып, берілген нүктелерді қиып өтетін дәрежесі бар рационалды жазықтық қисықтарының санын санау үшін пайдаланылуы мүмкін. Ол рекурсивті қатынас арқылы беріледі, мұнда .

Бірден артық гендерлік қисықтар

Бірден үлкен гендерлік қисықтар рационалды және эллиптік қисықтардан айтарлықтай ерекшеленеді. Фальтингс теоремасы бойынша, рационалды сандар үстінде анықталған мұндай қисықтарда ғана шектеулі санда рационалды нүктелер болуы мүмкін, және оларды гиперболалық геометрия құрылымы бар деп қарастыруға болады. Мысалдарға гиперэллиптік қисықтар, Клейн квартикалық қисығы және n үштен үлкен болғандағы Ферма қисығы 1 = xⁿ + yⁿ = zⁿ жатады. Сондай-ақ, проективті жазықтық қисықтары мен қисықтар көптеген пайдалы мысалдар ұсынады.