Кіріспе
Математикада Турстонның классификациялық теоремасы компактты бағдарланатын беттің гомеоморфизмдерін сипаттайды. Уильям Турстонның теоремасы бастама берілген жұмысты аяқтады. f : S → S гомеоморфизмі берілгенде, g-нің кем дегенде бірін қанағаттандыратын, f-ке изотоптық g картасы бар: g – периодты, яғни g-нің белгілі бір дәрежесі – сәйкестік; g, S-тегі бір-біріне жанаспайтын қарапайым жабық қисықтардың шекті бірігімін сақтайды (мұндай жағдайда g – қысқартылатын деп аталады); немесе g – псевдо-Аносов. S – тор (яғни, бір туысты бет) болған жағдай жеке қарастырылады (Tor bundle қараңыз) және ол Турстонның жұмысына дейін белгілі болды. Егер S-тің туысы екі немесе одан көп болса, онда S табиғи түрде гиперболалық болып табылады, ал Тейхмюллер теориясының құралдары қолданысқа ие. Бұдан әрі біз S-тің туысы кем дегенде екі деп есептейміз, өйткені Турстон осы жағдайды қарастырған. (Дегенмен, S-тің шекарасы болған немесе бағдарланбаған жағдайлары да қызығушылық тудыратынын ескеру қажет.) Бұл жіктелімдегі үш тип өзара сәйкес емес, бірақ псевдо-Аносов гомеоморфизмі ешқашан периодты немесе қысқартылатын болмайды. Қысқартылатын гомеоморфизм g-ні, Γ қарапайым жабық қисықтардың сақталған бірігімі бойынша бетті кесу арқылы одан әрі талдауға болады. Нәтижедегі шекті жинақталған беттердің әрқайсысына g-нің белгілі бір дәрежесі (яғни, қайталама құрамы) әсер етеді және классификация осы гомеоморфизмге қайта қолданылады.
In mathematics, Thurston's classification theorem characterizes homeomorphisms of a compact orientable surface. William Thurston's theorem completes the work initiated by
Given a homeomorphism f : S → S, there is a map g isotopic to f such that at least one of the following holds:
g is periodic, i. e. some power of g is the identity;
g preserves some finite union of disjoint simple closed curves on S (in this case, g is called reducible); or
g is pseudo Anosov. The case where S is a torus (i. e., a surface whose genus is one) is handled separately (see torus bundle) and was known before Thurston's work. If the genus of S is two or greater, then S is naturally hyperbolic, and the tools of Teichmüller theory become useful. In what follows, we assume S has genus at least two, as this is the case Thurston considered. (Note, however, that the cases where S has boundary or is not orientable are definitely still of interest.) The three types in this classification are not mutually exclusive, though a pseudo Anosov homeomorphism is never periodic or reducible. A reducible homeomorphism g can be further analyzed by cutting the surface along the preserved union of simple closed curves Γ. Each of the resulting compact surfaces with boundary is acted upon by some power (i. e. iterated composition) of g, and the classification can again be applied to this homeomorphism.
Жоғары жынысты беттер үшін карталау класы тобы
Турстонның жіктеуі ≥ 2 туыстығы бар бағдарланатын беттердің гомеоморфизмдеріне қолданылады, бірақ гомеоморфизмнің түрі тек карталау класы Mod(S) тобының оған сәйкес келетін элементіне ғана байланысты. Шындығында, жіктеу теоремасын дәлелдеу жақсы геометриялық қасиеттері бар әрбір карталау класының канондық өкілін табуға мүмкіндік береді. Мысалы: g периодты болғанда, оның карталау класында S бетіндегі гиперболалық құрылымның изометриясы болады. g псевдо-Аносов болғанда, оның карталау класында S бетіндегі бір-біріне көлденең жатқан екі жапырақтан тұратын ерекше жапырақтылықты сақтайтын элемент болады, сондай-ақ біреуінің жапырақтарын созады (тұрақсыз жапырақтылық), ал екіншісінің жапырақтарын қысқартады (тұрақты жапырақтылық).
When g is periodic, there is an element of its mapping class that is an isometry of a hyperbolic structure on S.
When g is pseudo Anosov, there is an element of its mapping class that preserves a pair of transverse singular foliations of S, stretching the leaves of one (the unstable foliation) while contracting the leaves of the other (the stable foliation).